Давайте по порядку разберем каждый из вопросов, связанных с правильной призмой ABCDA1B1C1D1, где AA1 = 6 и AB = 4.

Для нахождения тангенса угла между линией и плоскостью, мы можем использовать векторное представление. Сначала найдем вектор B1D:

• B1 = (4, 0, 6) (поскольку B находится на уровне A и на расстоянии AB = 4 по оси X)
• D = (0, 4, 0) (поскольку D находится на уровне A и на расстоянии AD = 4 по оси Y)
• Вектор B1D = D - B1 = (0, 4, 0) - (4, 0, 6) = (-4, 4, -6)

Теперь найдем нормальный вектор к плоскости ABC. Плоскость ABC имеет нормальный вектор, направленный по оси Z, то есть (0, 0, 1).

Теперь можем использовать формулу для нахождения тангенса угла:

• tan(θ) = |N * D| / |D|, где N - нормальный вектор плоскости, D - вектор B1D.

Вычисляя, получаем:

• |N * D| = |(0, 0, 1) * (-4, 4, -6)| = 6
• |D| = √((-4)² + 4² + (-6)²) = √(16 + 16 + 36) = √68 = 2√17
• tan(θ) = 6 / (2√17) = 3 / √17.

Для нахождения синуса угла используем формулу:

• sin(θ) = |N| / |D|, где N - нормальный вектор к плоскости DCC1, D - вектор B1D.

Нормальный вектор к плоскости DCC1 можно найти, используя векторы DC и CC1:

• DC = C - D = (4, 4, 0) - (0, 4, 0) = (4, 0, 0)
• CC1 = C1 - C = (4, 4, 6) - (4, 4, 0) = (0, 0, 6)

Теперь находим векторное произведение DC и CC1:

• N = DC x CC1 = |i j k|
• |4 0 0|
• |0 0 6| = (0, -24, 0).

Теперь вычисляем:

• |N| = 24, |D| = 2√17.
• sin(θ) = 24 / (2√17) = 12 / √17.

Диагональное сечение ADC1B1 представляет собой четырехугольник. Мы можем разбить его на два треугольника: ADC и AB1C1.

Площадь треугольника можно вычислить по формуле:

• Площадь = 0.5 * основание * высота.

Для треугольника ADC:

• основание = AD = 6, высота = AC = 4.
• Площадь ADC = 0.5 * 6 * 4 = 12.

Для треугольника AB1C1:

• основание = AB1 = 4, высота = AC1 = 6.
• Площадь AB1C1 = 0.5 * 4 * 6 = 12.

Суммируя площади, получаем: 12 + 12 = 24.

Для нахождения тангенса угла между двумя плоскостями, мы можем использовать нормальные векторы. Нормальный вектор к плоскости ADC1:

• N1 = (0, 0, 1) (плоскость ABC)
• N2 = (0, -6, 4) (плоскость ADC1, где ADC1 = (0, 4, 0),(0, 0, 6),(4, 0, 6)).

Теперь находим угол:

• cos(θ) = |N1 * N2| / (|N1| * |N2|).

Вычисляя, получаем:

• |N1| = 1, |N2| = √(0² + (-6)² + 4²) = √(36 + 16) = √52.
• cos(θ) = |0| / (1 * √52) = 0.
• Следовательно, угол 90 градусов и tan(θ) = ∞.

Расстояние от точки до прямой можно найти с помощью формулы:

• d = |(P1 - P2) * (P1 - P3)| / |P1 - P2|, где P1 - точка C1, P2 - точка A, P3 - точка D.

В нашем случае:

• P1 = (4, 4, 6),P2 = (0, 0, 0),P3 = (0, 4, 0).

Вычисляем:

• P1 - P2 = (4, 4, 6),P1 - P3 = (4, 0, 6),P2 - P3 = (0, 0, 0) - (0, 4, 0) = (0, -4, 0).
• Теперь подставляем в формулу и находим расстояние.

Для нахождения угла между двумя прямыми, мы можем использовать их направляющие векторы:

• CC1 = (0, 0, 6),AB = (4, 0, 0).

Теперь находим угол:

• cos(θ) = (CC1 * AB) / (|CC1| * |AB|).

Вычисляем:

• |CC1| = 6, |AB| = 4.
• cos(θ) = 0 / (6 * 4) = 0.
• Следовательно, угол 90 градусов.

Расстояние между двумя параллельными прямыми можно найти, используя формулу:

• d = |(P1 - P2) * (P1 - P3)| / |P1 - P2|, где P1 - точка C, P2 - точка A, P3 - точка D.

В результате получаем расстояние между прямыми, которое можно вычислить по аналогии с предыдущими расчетами.

Таким образом, мы подробно разобрали все вопросы и получили необходимые результаты. Если остались вопросы, не стесняйтесь спрашивать!