Чтобы доказать, что четырехугольник ABCD является квадратом, нам необходимо выполнить несколько шагов:

1. Проверка равенства сторон:
   • Найдём длины сторон AB, BC, CD и DA.
   • Длина отрезка AB:

   AB = √((√2 - 0)² + (1 - 1)² + (2 - 2)²) = √(2) = √2.

   • Длина отрезка BC:

   BC = √((√2 - √2)² + (2 - 1)² + (1 - 2)²) = √(0 + 1 + 1) = √2.

   • Длина отрезка CD:

   CD = √((0 - √2)² + (2 - 2)² + (1 - 1)²) = √(2) = √2.

   • Длина отрезка DA:

   DA = √((0 - 0)² + (1 - 2)² + (2 - 1)²) = √(0 + 1 + 1) = √2.

2. Проверка равенства углов:
   • Для проверки прямых углов воспользуемся скалярным произведением векторов.
   • Вектор AB = (√2 - 0, 1 - 1, 2 - 2) = (√2, 0, 0).
   • Вектор AD = (0 - 0, 1 - 2, 2 - 1) = (0, -1, 1).
   • Скалярное произведение AB и AD:

   AB · AD = (√2) * 0 + 0 * (-1) + 0 * 1 = 0.

   • Поскольку скалярное произведение равно нулю, векторы AB и AD перпендикулярны, значит угол A равен 90°.
   • Аналогично проверим углы B, C и D, используя векторы BC, CD и DA.
   • Вектор BC = (√2 - √2, 2 - 1, 1 - 2) = (0, 1, -1).
   • Скалярное произведение BC и AB:

   BC · AB = (0) * (√2) + (1) * 0 + (-1) * 0 = 0.

   • Таким образом, угол B также равен 90°.
3. Проверка диагоналей:
   • Теперь проверим длины диагоналей AC и BD.
   • Длина диагонали AC:

   AC = √((√2 - 0)² + (2 - 1)² + (1 - 2)²) = √(2 + 1 + 1) = √4 = 2.

   • Длина диагонали BD:

   BD = √((0 - √2)² + (1 - 1)² + (2 - 1)²) = √(2 + 0 + 1) = √3.

Поскольку все стороны равны, все углы равны 90°, а диагонали равны, мы можем заключить, что ABCD является квадратом.