Какой объем новой правильной четырехугольной пирамиды, если изначально объем пирамиды равен 15 см³, высоту уменьшили в 3 раза, а сторону основания увеличили в 4 раза?

Геометрия 11 класс Объём пирамиды объём пирамиды правильная четырехугольная пирамида изменение объёма высота пирамиды сторона основания геометрия 11 класс Новый

Чтобы найти объем новой правильной четырехугольной пирамиды, давайте сначала вспомним формулу для объема пирамиды:

V = (1/3) * S * h

где V - объем пирамиды, S - площадь основания, h - высота.

В нашем случае объем изначальной пирамиды равен 15 см³. Теперь рассмотрим изменения:

• Высота: уменьшили в 3 раза. Если изначальная высота была h, то новая высота будет h/3.
• Сторона основания: увеличили в 4 раза. Если изначальная сторона основания была a, то новая сторона основания будет 4a.

Теперь давайте найдем, как изменится площадь основания. Площадь основания правильной четырехугольной пирамиды (квадрат) рассчитывается по формуле:

S = a²

Итак, изначальная площадь основания будет:

S = a²

Теперь, когда сторона увеличилась в 4 раза, новая площадь основания будет:

S' = (4a)² = 16a²

Теперь мы можем подставить новые значения высоты и площади основания в формулу для объема:

V' = (1/3) * S' * h'

Подставим S' и h':

V' = (1/3) * (16a²) * (h/3)

Упростим это выражение:

V' = (1/3) * 16a² * (h/3) = (16/9) * (1/3) * a² * h

Мы знаем, что (1/3) * a² * h = V. То есть, объем изначальной пирамиды V = 15 см³.

Теперь подставим V в уравнение:

V' = (16/9) * 15

Теперь посчитаем:

V' = 16 * 15 / 9 = 240 / 9 = 26.67 см³

Таким образом, объем новой правильной четырехугольной пирамиды составляет примерно 26.67 см³.