Какой объем правильной треугольной усеченной пирамиды, если боковое ребро равно √48 см, а стороны оснований равны 10 см и 4 см?

Геометрия 11 класс Объем усеченной пирамиды объем правильной треугольной усеченной пирамиды боковое ребро стороны оснований геометрия 11 класс задачи по геометрии Новый

Чтобы найти объем правильной треугольной усеченной пирамиды, нам нужно использовать формулу для объема усеченной пирамиды:

V = (1/3) * h * (S1 + S2 + √(S1 * S2))

где:

• V - объем усеченной пирамиды,
• h - высота усеченной пирамиды,
• S1 - площадь нижнего основания,
• S2 - площадь верхнего основания.

Теперь давайте определим необходимые значения для формулы.

1. Площадь оснований:

У нас есть два треугольника: один с длиной стороны 10 см и другой с длиной стороны 4 см. Поскольку это правильные треугольники, мы можем использовать формулу для площади равностороннего треугольника:

S = (√3 / 4) * a²

где a - длина стороны треугольника.

Теперь найдем площади:

• S1 (для основания со стороной 10 см):

S1 = (√3 / 4) * 10² = (√3 / 4) * 100 = 25√3 см²

• S2 (для основания со стороной 4 см):

S2 = (√3 / 4) * 4² = (√3 / 4) * 16 = 4√3 см²

2. Найдем высоту h:

Для нахождения высоты усеченной пирамиды, мы можем использовать теорему Пифагора. Боковое ребро равно √48 см. В правильной треугольной усеченной пирамиде высота, боковое ребро и половина разности оснований образуют прямоугольный треугольник.

Разность между полусуммой сторон оснований:

Δ = (10 - 4) / 2 = 3 см

Теперь применим теорему Пифагора:

h² + Δ² = (√48)²

h² + 3² = 48

h² + 9 = 48

h² = 48 - 9 = 39

h = √39 см

3. Подставим все значения в формулу для объема:

V = (1/3) * h * (S1 + S2 + √(S1 * S2))

V = (1/3) * √39 * (25√3 + 4√3 + √(25√3 * 4√3))

Теперь посчитаем:

V = (1/3) * √39 * (29√3 + √(100 * 4 * 3))

V = (1/3) * √39 * (29√3 + √1200)

V = (1/3) * √39 * (29√3 + 20√3)

V = (1/3) * √39 * (49√3)

V = (49/3) * √(117) см³

Таким образом, объем правильной треугольной усеченной пирамиды составляет (49/3) * √(117) см³.