Какой объем у правильной шестиугольной пирамиды, если длина стороны её основания равна 24, а угол между боковой гранью и основанием равен 45 градусов?

Геометрия 11 класс Объем правильной шестиугольной пирамиды объем правильной шестиугольной пирамиды длина стороны основания угол между боковой гранью и основанием

Чтобы найти объем правильной шестиугольной пирамиды, нам нужно использовать формулу для объема пирамиды:

V = (1/3) * S * h

где V - объем, S - площадь основания, h - высота пирамиды.

Шаги решения:

1. Найдем площадь основания.
   Основание нашей пирамиды - правильный шестиугольник. Площадь S правильного шестиугольника можно найти по формуле:
   S = (3√3 / 2) * a²,
   где a - длина стороны шестиугольника.
   Подставим значение a = 24:
   S = (3√3 / 2) * 24² = (3√3 / 2) * 576 = 864√3.
2. Найдем высоту пирамиды.
   У нас есть угол между боковой гранью и основанием, равный 45 градусов. Это означает, что высота h и радиус основания R (расстояние от центра шестиугольника до одной из его вершин) связаны следующим образом:
   tan(45°) = h / R.
   Так как tan(45°) = 1, то h = R.
   Теперь найдем радиус R. Для правильного шестиугольника радиус R можно найти по формуле:
   R = a.
   В нашем случае R = 24, значит h = 24.
3. Теперь подставим все значения в формулу для объема.
   V = (1/3) * S * h = (1/3) * 864√3 * 24.
   Упростим это выражение:
   V = (1/3) * 20736√3 = 6912√3.

Таким образом, объем правильной шестиугольной пирамиды равен 6912√3 кубических единиц.

Чтобы найти объем правильной шестиугольной пирамиды, нам нужно знать площадь основания и высоту пирамиды. Объем пирамиды вычисляется по формуле:

V = (1/3) S h

где V — объем, S — площадь основания, h — высота пирамиды.

Теперь давайте разберем шаги, которые нам нужно выполнить:

1. Найдем площадь основания шестиугольника.

Площадь правильного шестиугольника можно вычислить по формуле:

S = (3 √3 / 2) a²

где a — длина стороны шестиугольника. В нашем случае a = 24.

Подставим значение:

S = (3 √3 / 2) 24² S = (3 √3 / 2) 576 S = 864√3

Таким образом, площадь основания шестиугольной пирамиды равна 864√3.

2. Найдем высоту пирамиды.

У нас есть угол между боковой гранью и основанием, который равен 45 градусам. Это означает, что высота пирамиды и радиус основания образуют прямоугольный треугольник с боковой гранью.

Мы знаем, что радиус описанной окружности правильного шестиугольника можно найти по формуле:

R = a

где a — длина стороны шестиугольника. В нашем случае R = 24.

Теперь, используя тригонометрию, мы можем найти высоту h. В прямоугольном треугольнике, где угол 45 градусов:

h = R * tan(45°)

Поскольку tan(45°) = 1, то:

h = R = 24

Таким образом, высота пирамиды равна 24.

3. Теперь подставим значения в формулу для объема.

Подставляем найденные значения S и h в формулу объема:

V = (1/3) S h V = (1/3) 864√3 24 V = (1/3) * 20736√3 V = 6912√3

Таким образом, объем правильной шестиугольной пирамиды составляет 6912√3 кубических единиц.