Какой угол образуется между плоскостями, если точки М и К являются серединами рёбер ВС и СС куба ABCDA1B1C1D1?

Геометрия 11 класс Углы между плоскостями Угол между плоскостями середины ребер куб ABCDA1B1C1D1 геометрия 11 класс задачи по геометрии Новый

Чтобы найти угол между плоскостями, в которых находятся точки М и К, начнем с определения расположения этих точек в кубе ABCDA1B1C1D1.

1. **Определение координат вершин куба**:

• A(0, 0, 0)
• B(1, 0, 0)
• C(1, 1, 0)
• D(0, 1, 0)
• A1(0, 0, 1)
• B1(1, 0, 1)
• C1(1, 1, 1)
• D1(0, 1, 1)

2. **Нахождение середины рёбер**:

• Рёбра ВС и СС имеют следующие координаты:
• Вершина B(1, 0, 0) и C(1, 1, 0) для ребра BC.
• Вершина C(1, 1, 0) и C1(1, 1, 1) для ребра CC1.
• Теперь найдем координаты точек М и К:
• М - середина ребра BC: M = (1, (0+1)/2, 0) = (1, 0.5, 0).
• К - середина ребра CC1: K = (1, 1, (0+1)/2) = (1, 1, 0.5).

3. **Определение плоскостей**:

• Плоскость, проходящая через точки A, B и M.
• Плоскость, проходящая через точки C, D и K.

4. **Нахождение нормалей к плоскостям**:

• Для первой плоскости (A, B, M):
• Вектор AB = B - A = (1, 0, 0) - (0, 0, 0) = (1, 0, 0).
• Вектор AM = M - A = (1, 0.5, 0) - (0, 0, 0) = (1, 0.5, 0).
• Нормаль к плоскости (AxB) = (1, 0, 0) x (1, 0.5, 0) = (0, 0, 0.5) - (0, 0, 0) = (0, 0, 0.5).
• Для второй плоскости (C, D, K):
• Вектор CD = D - C = (0, 1, 0) - (1, 1, 0) = (-1, 0, 0).
• Вектор CK = K - C = (1, 1, 0.5) - (1, 1, 0) = (0, 0, 0.5).
• Нормаль к плоскости (CxD) = (-1, 0, 0) x (0, 0, 0.5) = (0, 0.5, 0) - (0, 0, 0) = (0, 0.5, 0).

5. **Нахождение угла между плоскостями**:

• Угол между плоскостями определяется через скалярное произведение их нормалей:
• cos(θ) = (N1 • N2) / (|N1| * |N2|), где N1 и N2 - нормали к плоскостям.
• Подставляем значения нормалей:
• N1 = (0, 0, 0.5), N2 = (0, 0.5, 0).

6. **Расчет угла**:

• Скалярное произведение N1 • N2 = 0.
• Так как скалярное произведение равно нулю, это означает, что угол между плоскостями равен 90 градусам.

Ответ: Угол между плоскостями, проходящими через точки М и К, равен 90 градусам.