Какую долю площади ромба занимает площадь круга, вписанного в ромб, если высота, проведенная из тупого угла, делит сторону ромба в отношении 1:2, считая от острого угла?

Геометрия 11 класс Площадь фигур ромб площадь круга вписанный круг высота ромба тупой угол острый угол отношение сторон геометрия 11 класс задачи по геометрии площадь фигуры Новый

Чтобы найти долю площади круга, вписанного в ромб, от площади самого ромба, давайте разберем задачу по шагам.

1. Определим параметры ромба:

• Обозначим стороны ромба как AB, BC, CD, DA. Пусть длина стороны ромба равна a.
• Пусть острые углы ромба равны α, а тупые углы равны β.
• Высота, проведенная из тупого угла (например, из угла B), делит сторону AC в отношении 1:2. Это значит, что точка пересечения высоты с AC делит ее на отрезки, где один из них равен 1/3 a, а другой - 2/3 a.

2. Найдем высоту ромба:

Высота h, проведенная из угла B, может быть найдена через сторону ромба и угол α:

• h = a * sin(α).

3. Найдем площадь ромба:

Площадь S ромба можно вычислить по формуле:

• S = a * h = a * (a * sin(α)) = a² * sin(α).

4. Найдем радиус вписанного круга:

Радиус r вписанного в ромб круга можно найти через площадь и периметр ромба:

• Периметр P ромба равен 4a.
• Формула для радиуса вписанного круга: r = S / (P/2) = (a² * sin(α)) / (2a) = (a * sin(α)) / 2.

5. Найдем площадь круга:

Площадь круга Sк будет равна:

• Sк = π * r² = π * ((a * sin(α)) / 2)² = π * (a² * sin²(α)) / 4.

6. Найдем долю площади круга от площади ромба:

Теперь нам нужно найти, какую долю составляет Sк от S:

• Доля = Sк / S = (π * (a² * sin²(α)) / 4) / (a² * sin(α)) = (π * sin(α)) / 4.

7. Подставим значение sin(α):

Мы знаем, что высота делит сторону в отношении 1:2. Это может помочь нам выразить sin(α) через известные величины. В данном случае, используя свойства треугольников, мы можем установить, что:

• sin(α) = 1/√5 (если использовать теорему Пифагора и соотношения в треугольниках).

8. Подставляем значение sin(α) в долю:

Тогда, подставляя sin(α) в формулу для доли, получаем:

• Доля = (π * (1/√5)) / 4 = π / (4√5).

Таким образом, доля площади круга, вписанного в ромб, от площади самого ромба составляет π / (4√5).