Давайте решим задачу шаг за шагом.

Шаг 1: Найдем высоту призмы.

Площадь поверхности правильной четырехугольной призмы состоит из двух оснований и четырех боковых граней. Формула для площади поверхности призмы выглядит следующим образом:

P = 2 * S_основание + S_боковая

Где S_основание - площадь основания, а S_боковая - площадь боковой поверхности.

Площадь основания правильной четырехугольной призмы (квадрата) рассчитывается по формуле:

S_основание = a²,

где a - длина стороны основания. В нашем случае a = 5 см, поэтому:

S_основание = 5² = 25 см².

Теперь подставим значение площади основания в формулу для площади поверхности:

130 = 2 * 25 + S_боковая.

Считаем:

130 = 50 + S_боковая.

Следовательно, S_боковая = 130 - 50 = 80 см².

Площадь боковой поверхности правильной четырехугольной призмы можно найти по формуле:

S_боковая = Perimeter_основания * h,

где Perimeter_основания - периметр основания. Периметр квадрата рассчитывается как:

Perimeter_основания = 4 * a = 4 * 5 = 20 см.

Теперь подставим в формулу:

80 = 20 * h.

Отсюда h = 80 / 20 = 4 см.

Шаг 2: Найдем диагональ призмы.

Диагональ правильной четырехугольной призмы можно найти по формуле:

d = √(a² + h²),

где a - длина стороны основания, h - высота призмы.

Подставляем известные значения:

d = √(5² + 4²) = √(25 + 16) = √41 см.

Шаг 3: Найдем площадь диагонального сечения призмы.

Диагональное сечение правильной четырехугольной призмы представляет собой прямоугольник, где одна сторона равна диагонали основания, а другая - высоте призмы.

Площадь диагонального сечения можно найти по формуле:

S_диагональное = d * h.

Мы уже нашли d = √41 см и h = 4 см, поэтому:

S_диагональное = √41 * 4 см².

Шаг 4: Найдем площадь круга, описанного вокруг основания призмы.

Площадь круга, описанного вокруг квадрата, можно найти по формуле:

S_круга = π * R²,

где R - радиус описанной окружности. Радиус описанной окружности для квадрата равен:

R = a * √2 / 2.

Подставляем a = 5 см:

R = 5 * √2 / 2.

Теперь подставляем радиус в формулу для площади:

S_круга = π * (5 * √2 / 2)² = π * (25 * 2 / 4) = (25π / 2) см².

Итак, наши ответы:

• Высота призмы: 4 см
• Диагональ призмы: √41 см
• Площадь диагонального сечения: 4√41 см²
• Площадь круга, описанного вокруг основания: (25π / 2) см²