Давайте разберем задачу о конусе и его сечении, а также найдем необходимые величины.

Итак, у нас есть конус ABC, где высота (ВО) равна 2. Плоскость, проведенная через вершину конуса, образует угол 45 градусов с основанием и отсекает четверть окружности основания. Нам нужно найти площадь сечения, объем конуса, а также площадь боковой и полной поверхности.

Сечение, образованное плоскостью, представляет собой равнобедренный треугольник КВМ. Чтобы найти его площадь, сначала определим длину основания КМ. Поскольку плоскость отсекает четверть окружности, угол КОМ, который является центральным углом, равен 90 градусов.

• В треугольнике КОМ у нас есть прямой угол, и он равнобедренный (КО = ОМ).
• Поскольку КО и ОМ - это радиусы основания, будем считать радиус R.
• Так как весь треугольник КОМ прямоугольный, отрезок КМ будет равен 2 * ОМ.
• В нашем случае, длина КМ равна 4, так как ОМ = 2.

Теперь найдем высоту ВН треугольника КВМ. В треугольнике КВМ угол ВНО равен 45 градусам.

• Поскольку угол ВНО равен 45 градусам, треугольник ВНО также является равнобедренным.
• Высота ВН можно найти с помощью теоремы Пифагора: ВН = корень(ВО^2 + ОН^2) = корень(4 + 4) = 2 * корень(2).

Теперь можно вычислить площадь сечения:

Площадь КВМ = 1/2 * КМ * ВН = 1/2 * 4 * 2 * корень(2) = 4 * корень(2).

Теперь найдем объем конуса. Формула для объема V конуса:

V = 1/3 * π * R^2 * h, где R - радиус основания, h - высота конуса.

• Мы уже знаем, что радиус R = 2 * корень(2).
• Подставляем значения: V = 1/3 * π * (2 * корень(2))^2 * 2 = 1/3 * π * 8 * 2 = 16 * π / 3.

Площадь боковой поверхности S бок = π * R * образующая. Для нахождения образующей ВК используем теорему Пифагора:

• Образующая ВК = корень(ВО^2 + ОК^2),где ОК = 2 * корень(2) = радиус.
• Таким образом, ВК = корень(4 + 8) = 2 * корень(3).

Следовательно, площадь боковой поверхности:

S бок = π * 2 * корень(2) * 2 * корень(3) = 4π * корень(6).

Чтобы найти полную площадь поверхности S пол, используем формулу:

S пол = π * R * (R + образующая).

• Подставляем значения: S пол = π * 2 * корень(2) * (2 * корень(2) + 2 * корень(3)) = π * 2 * корень(2) * (2 * корень(2) + 2 * корень(3)).
• Упрощая, получаем: S пол = 4π * (2 + корень(6)).

Итак, итоговые результаты:

• Площадь сечения: 4 * корень(2).
• Объем конуса: 16 * π / 3.
• Площадь боковой поверхности: 4π * корень(6).
• Полная площадь поверхности: 4π * (2 + корень(6)).

Надеюсь, это объяснение помогло вам понять, как решать подобные задачи! Если остались вопросы, не стесняйтесь задавать их.