Давайте решим задачу шаг за шагом.

У нас есть два вектора:

• a = i + 2j + 3k
• b = -3i - 2j + k

Теперь мы будем выполнять следующие шаги:

1. Найдем площадь параллелограмма.

Площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b, вычисляется по формуле:

Площадь = |a × b|, где "×" обозначает векторное произведение.

Сначала найдем векторное произведение a и b:

Векторное произведение векторов a и b можно вычислить с помощью детерминанта:

| i j k |

| 1 2 3 |

|-3 -2 1 |

Рассчитаем детерминант:

i(2*1 - 3*(-2)) - j(1*1 - 3*(-3)) + k(1*(-2) - 2*(-3))

i(2 + 6) - j(1 + 9) + k(-2 + 6)

i(8) - j(10) + k(4)

Таким образом, векторное произведение:

a × b = 8i - 10j + 4k

Теперь найдем модуль этого вектора:

|a × b| = √(8² + (-10)² + 4²) = √(64 + 100 + 16) = √180 = 6√5

Следовательно, площадь параллелограмма:

Площадь = 6√5
2. Найдем угол между диагоналями параллелограмма.

Диагонали параллелограмма можно найти как:

d1 = a + b и d2 = a - b

Сначала найдем d1:

d1 = (1 - 3)i + (2 - 2)j + (3 + 1)k = -2i + 0j + 4k = -2i + 4k

Теперь найдем d2:

d2 = (1 + 3)i + (2 + 2)j + (3 - 1)k = 4i + 4j + 2k

Теперь найдем угол между d1 и d2 с помощью скалярного произведения:

cos(θ) = (d1 • d2) / (|d1| * |d2|)

Сначала найдем скалярное произведение:

d1 • d2 = (-2)(4) + (0)(4) + (4)(2) = -8 + 0 + 8 = 0

Теперь найдем модули векторов d1 и d2:

|d1| = √((-2)² + 0² + 4²) = √(4 + 0 + 16) = √20 = 2√5
|d2| = √(4² + 4² + 2²) = √(16 + 16 + 4) = √36 = 6

Теперь подставим в формулу:

cos(θ) = 0 / (2√5 * 6) = 0

Это означает, что угол θ между диагоналями равен 90 градусам, так как cos(90°) = 0.

3. Найдем проекцию вектора a на направлении вектора b.

Проекция вектора a на вектор b вычисляется по формуле:

proj_b(a) = (a • b) / |b|² * b

Сначала найдем скалярное произведение a и b:

a • b = (1)(-3) + (2)(-2) + (3)(1) = -3 - 4 + 3 = -4

Теперь найдем модуль вектора b:

|b| = √((-3)² + (-2)² + 1²) = √(9 + 4 + 1) = √14

Теперь найдем |b|²:

|b|² = 14

Теперь подставим в формулу проекции:

proj_b(a) = (-4 / 14) * b = (-2 / 7) * (-3i - 2j + k) = (6/7)i + (4/7)j - (2/7)k

Таким образом, проекция вектора a на вектор b равна:

proj_b(a) = (6/7)i + (4/7)j - (2/7)k

В итоге мы нашли:

• Площадь параллелограмма: 6√5
• Угол между диагоналями: 90 градусов
• Проекция вектора a на b: (6/7)i + (4/7)j - (2/7)k