Стороны основания треугольной пирамиды составляют 9, 10 и 17. Все боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 45 градусов. Какой объем у этой пирамиды?

Геометрия 11 класс Объем треугольной пирамиды объём треугольной пирамиды стороны основания пирамиды угол наклона боковых граней геометрия 11 класс задачи по геометрии Новый

Для нахождения объема треугольной пирамиды, нам нужно знать площадь основания и высоту пирамиды. В данной задаче основание пирамиды представляет собой треугольник с длинами сторон 9, 10 и 17. Давайте сначала найдем площадь этого треугольника.

Шаг 1: Находим полупериметр треугольника.

Полупериметр (p) треугольника можно найти по формуле:

p = (a + b + c) / 2

где a, b и c - длины сторон треугольника.

В нашем случае:

• a = 9
• b = 10
• c = 17

Подставляем значения:

p = (9 + 10 + 17) / 2 = 18

Шаг 2: Находим площадь треугольника по формуле Герона.

Площадь (S) треугольника можно найти по формуле Герона:

S = √(p * (p - a) * (p - b) * (p - c))

Подставляем значения:

S = √(18 * (18 - 9) * (18 - 10) * (18 - 17))

S = √(18 * 9 * 8 * 1)

S = √(162) = 9√2

Шаг 3: Находим высоту пирамиды.

Теперь нам нужно найти высоту пирамиды. У нас есть информация о том, что все боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 45 градусов. Это означает, что высота пирамиды равна длине отрезка, который опускается из вершины пирамиды на плоскость основания.

Поскольку угол наклона равен 45 градусам, высота (h) будет равна длине бокового ребра, которое мы можем найти с помощью теоремы Пифагора. Для этого нам нужно знать длину бокового ребра.

Шаг 4: Находим длину бокового ребра.

Длина бокового ребра (l) может быть найдена следующим образом:

l = h / sin(45°) = h / (√2/2) = h√2

Так как h = l√2, то l = h√2. Теперь мы знаем, что высота пирамиды равна длине бокового ребра, поэтому:

h = l / √2

Теперь мы можем найти объем пирамиды.

Шаг 5: Находим объем пирамиды.

Объем (V) пирамиды вычисляется по формуле:

V = (1/3) * S * h

Подставляем значения:

V = (1/3) * (9√2) * h

Теперь подставим значение высоты. Поскольку h = 9√2, мы имеем:

V = (1/3) * (9√2) * (9√2) = (1/3) * 81 * 2 = 54

Таким образом, объем треугольной пирамиды равен 54.