Точка O является центром правильного шестиугольника ABCDEF со стороной 4. Каков радиус окружности, которая касается окружностей, вписанных в четырехугольники ABOF, CDOB и EFOD?

Геометрия 11 класс Окружности и их свойства геометрия 11 класс правильный шестиугольник радиус окружности окружности вписанные окружности четырёхугольники центр шестиугольника задача по геометрии

Радиус окружности, которая касается окружностей, вписанных в четырехугольники ABOF, CDOB и EFOD, равен 4.

Для решения этой задачи сначала разберемся с правильным шестиугольником ABCDEF и его свойствами.

Правильный шестиугольник можно разделить на 6 равнобедренных треугольников, которые имеют общую вершину в центре шестиугольника (точка O). Сторона шестиугольника равна 4, следовательно, все стороны треугольников также равны 4.

Теперь определим радиус окружности, которая касается окружностей, вписанных в четырехугольники ABOF, CDOB и EFOD. Для этого нам нужно сначала найти радиусы вписанных окружностей в эти четырехугольники.

• Четырехугольник ABOF:
• Четырехугольник CDOB:
• Четырехугольник EFOD:

Каждый из этих четырехугольников можно рассмотреть как составленный из двух равнобедренных треугольников. Давайте найдем радиус вписанной окружности для каждого из этих четырехугольников.

Радиус вписанной окружности (r) в любом треугольнике можно найти по формуле:

r = S / p,

где S - площадь треугольника, а p - полупериметр.

Для треугольника ABO:

• Стороны: AO = 4, BO = 4, AB = 4.
• Полупериметр p = (4 + 4 + 4) / 2 = 6.
• Площадь S можно найти через формулу Герона:

Площадь S = √(p * (p-a) * (p-b) * (p-c)), где a, b, c - стороны треугольника.

Тогда:

• S = √(6 * (6-4) * (6-4) * (6-4)) = √(6 * 2 * 2 * 2) = √(48) = 4√3.

Теперь подставим S и p в формулу для радиуса:

• r = S / p = (4√3) / 6 = 2√3 / 3.

Так как четырехугольники ABOF, CDOB и EFOD симметричны, радиусы вписанных окружностей в них будут одинаковыми и равны 2√3 / 3.

Теперь, чтобы найти радиус окружности, касающейся этих трех окружностей, воспользуемся формулой для радиуса окружности, касающейся трех окружностей, которая дается как:

R = (r1 * r2 * r3) / (r1 * r2 + r2 * r3 + r3 * r1),

где r1, r2 и r3 - радиусы вписанных окружностей. В нашем случае r1 = r2 = r3 = 2√3 / 3. Подставим значения:

• R = (2√3/3 * 2√3/3 * 2√3/3) / (2√3/3 * 2√3/3 + 2√3/3 * 2√3/3 + 2√3/3 * 2√3/3).
• R = (8 * 3) / (3 * 4) = 2.

Таким образом, радиус окружности, которая касается окружностей, вписанных в четырехугольники ABOF, CDOB и EFOD, равен 2.

Ответ: радиус окружности равен 2.