В окружность с центром O вписан четырехугольник ABCD, который не является трапецией. Пусть M — точка пересечения диагоналей, K — точка пересечения окружностей, описанных около треугольников BMC и DMA, а L — точка пересечения окружностей, описанных около треугольников AMB и CMD. Как можно доказать, что вокруг четырехугольника OLMK можно описать окружность, если K, L и M — различные точки?

Геометрия 11 класс Окружности и их свойства четырехугольник ABCD окружность с центром O точка M точка K точка L диагонали четырехугольника окружности треугольников доказательство окружности свойства четырёхугольников геометрия 11 класс Новый

Чтобы доказать, что вокруг четырехугольника OLMK можно описать окружность, воспользуемся свойством, которое утверждает, что четырехугольник имеет описанную окружность, если сумма его противоположных углов равна 180 градусам.

Рассмотрим точки K, L и M, которые являются пересечениями окружностей, описанных около треугольников, и точки O, M, K и L. Нам необходимо показать, что сумма углов OLM и OKM равна 180 градусам.

1. Определим углы:
   • Угол OLM — это угол между отрезками OL и OM.
   • Угол OKM — это угол между отрезками OK и OM.
2. Поскольку ABCD — вписанный четырехугольник:
   • Согласно свойству вписанных углов, угол OLM равен углу ACB (угол, опирающийся на ту же дугу AB).
   • Аналогично, угол OKM равен углу ADB (угол, опирающийся на дугу CD).
3. Сумма углов:
   • Поскольку ABCD не является трапецией, то по свойству вписанных углов: угол ACB + угол ADB = 180 градусов.
   • Следовательно, угол OLM + угол OKM = 180 градусов.

Таким образом, мы доказали, что сумма углов OLM и OKM равна 180 градусам. Это означает, что четырехугольник OLMK имеет описанную окружность, так как его противоположные углы в сумме дают 180 градусов.

Важно также отметить, что условие о том, что K, L и M — различные точки, гарантирует, что четырехугольник OLMK не вырожденный и действительно имеет форму, позволяющую описать окружность.

Таким образом, мы пришли к выводу, что вокруг четырехугольника OLMK можно описать окружность.