Для решения данной задачи начнем с анализа условий и данных, которые нам даны.

1. У нас есть окружность с центром в точке O и диаметры AB и CD. Это значит, что точки A и B лежат на одной прямой, проходящей через центр O, и аналогично для точек C и D.

2. Луч OE является биссектрисой угла AOC. Это означает, что угол AOE равен углу COE.

3. Точка K находится на окружности и является точкой пересечения луча OE с окружностью. При этом условие KЕ = КО говорит нам о том, что точка K является серединой отрезка OE.

4. Периметр треугольника KCO равен 3 радиусам окружности. Обозначим радиус окружности как R. Тогда периметр треугольника KCO равен:

• КС + КО + СО = 3R.

Теперь давайте обозначим длину отрезка KO как x. Поскольку K находится на окружности, то KO = R. Следовательно, мы можем выразить длину отрезка KC:

• KC = 3R - (KO + CO) = 3R - (R + CO) = 2R - CO.

Теперь мы имеем треугольник KCO, в котором мы знаем длины двух сторон и можем найти третью.

Теперь, чтобы доказать, что точки E, A, C и O лежат на одной окружности, мы воспользуемся следующим фактом:

• Четыре точки лежат на одной окружности, если углы, опирающиеся на одну из сторон, равны.

В нашем случае, нам нужно показать, что угол AEO равен углу CKO. Мы знаем, что угол AOC равен 180 градусов (так как это угол между двумя диаметрами),и так как OE является биссектрисой, то:

• Угол AOE = угол COE = 90 градусов.

Теперь, учитывая, что K является серединой отрезка OE, мы можем сказать, что:

• Угол AEO = угол COE = 90 градусов.

Таким образом, угол AEO равен углу CKO, что и доказывает, что точки E, A, C и O лежат на одной окружности.

Таким образом, мы пришли к выводу, что точки E, A, C и O действительно лежат на одной окружности, что и требовалось доказать.