В кубе ABCDA1B1C1D1 проведем сечение плоскостью, которая проходит через точки A, B и C1. Какой периметр этого сечения, если длина ребра куба равна 2 см?

Геометрия 11 класс Сечения многогранников сечение куба периметр сечения геометрия 11 класс куб ABCDA1B1C1D1 длина ребра куба 2 см Новый

Для начала давайте определим, что такое куб и какие точки мы будем использовать. Куб ABCDA1B1C1D1 имеет следующие вершины:

• A(0, 0, 0)
• B(2, 0, 0)
• C(2, 2, 0)
• D(0, 2, 0)
• A1(0, 0, 2)
• B1(2, 0, 2)
• C1(2, 2, 2)
• D1(0, 2, 2)

Теперь мы проведем плоскость через точки A, B и C1. Эти точки имеют следующие координаты:

• A(0, 0, 0)
• B(2, 0, 0)
• C1(2, 2, 2)

Чтобы найти периметр сечения, нам нужно определить, какие еще точки будут находиться на пересечении плоскости с гранями куба. Для этого мы можем найти пересечения плоскости с оставшимися гранями куба.

Плоскость, проходящая через точки A, B и C1, можно описать уравнением. Для этого найдем векторы AB и AC1:

• AB = B - A = (2, 0, 0) - (0, 0, 0) = (2, 0, 0)
• AC1 = C1 - A = (2, 2, 2) - (0, 0, 0) = (2, 2, 2)

Теперь найдем нормальный вектор плоскости, используя векторное произведение:

• N = AB x AC1 = |i j k|
• |2 0 0|
• |2 2 2|

Вычисляя детерминант, получаем:

• N = (0, -4, 4)

Уравнение плоскости имеет вид:

0(x - 0) - 4(y - 0) + 4(z - 0) = 0, что упрощается до:

-4y + 4z = 0 или y = z.

Теперь найдем точки пересечения этой плоскости с гранями куба:

• С гранями, где z = 0 (плоскость ABCD): y = 0, y = 2. Точки: (0, 0, 0) и (2, 0, 0) - это точки A и B.
• С гранями, где z = 2 (плоскость A1B1C1D1): y = 2, y = 0. Точка: (2, 2, 2) - это точка C1.
• С гранями, где x = 0 (плоскость ADBD1): y = z. Точка: (0, 0, 0) - это точка A.
• С гранями, где x = 2 (плоскость B1C1D1C): y = z. Точка: (2, 2, 2) - это точка C1.

Теперь у нас есть все точки, определяющие сечение: A, B и C1. Теперь находим длины сторон:

• AB = 2 см (длина между A и B)
• AC1 = √((2-0)² + (2-0)² + (2-0)²) = √(4 + 4 + 4) = √12 = 2√3 см
• BC1 = √((2-2)² + (2-0)² + (2-0)²) = √(0 + 4 + 4) = √8 = 2√2 см

Теперь найдем периметр сечения:

Периметр = AB + AC1 + BC1 = 2 + 2√3 + 2√2 см.

Таким образом, периметр сечения, проведенного через точки A, B и C1, равен 2 + 2√3 + 2√2 см.