В кубе ABCDA1B1C1D1 расположены точки P, M и T, которые представляют собой середины ребер A1B1, CC1 и AD соответственно. Как можно осуществить построение сечения куба плоскостью, которая проходит через указанные точки P, M и T?

Геометрия 11 класс Сечения многогранников сечение куба плоскость через точки геометрия 11 класс построение сечения точки P M T середины ребер куба Новый

Для того чтобы построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки P, M и T, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Определение координат точек:

• Пусть куб имеет длину ребра a. Тогда его вершины можно обозначить следующими координатами:
• A(0, 0, 0)
• B(a, 0, 0)
• C(a, a, 0)
• D(0, a, 0)
• A1(0, 0, a)
• B1(a, 0, a)
• C1(a, a, a)
• D1(0, a, a)
• Теперь определим координаты точек P, M и T:
• P — середина ребра A1B1: P(a/2, 0, a)
• M — середина ребра CC1: M(a, a/2, a)
• T — середина ребра AD: T(0, a/2, 0)

2. Определение уравнения плоскости:

• Для нахождения уравнения плоскости, проходящей через три точки, необходимо использовать координаты этих точек.
• Пусть точки P, M и T имеют координаты:
• P(x1, y1, z1) = (a/2, 0, a)
• M(x2, y2, z2) = (a, a/2, a)
• T(x3, y3, z3) = (0, a/2, 0)
• Сначала найдем векторы PM и PT:
• PM = M - P = (a - a/2, a/2 - 0, a - a) = (a/2, a/2, 0)
• PT = T - P = (0 - a/2, a/2 - 0, 0 - a) = (-a/2, a/2, -a)
• Теперь найдем векторное произведение векторов PM и PT, чтобы получить нормаль к плоскости:
• n = PM x PT = |i j k|
• |a/2 a/2 0|
• |-a/2 a/2 -a|
• Вычислив это определитель, мы получим координаты нормали n.

3. Уравнение плоскости:

• Уравнение плоскости имеет вид: n1(x - x1) + n2(y - y1) + n3(z - z1) = 0, где (n1, n2, n3) — компоненты нормального вектора, а (x1, y1, z1) — координаты одной из точек (например, P).

4. Построение сечения:

• Теперь, когда мы имеем уравнение плоскости, мы можем найти точки пересечения этой плоскости с гранями куба.
• Для этого подставляем уравнение плоскости в уравнения граней куба и находим точки пересечения.
• Эти точки будут образовывать сечение куба плоскостью, проходящей через P, M и T.

Таким образом, следуя этим шагам, мы можем построить сечение куба плоскостью, проходящей через заданные точки.