В кубе АВСДА1В1С1Д1, где длина ребра равна 4, какая площадь сечения, которое проходит через середины ребер АВ и АД и параллельно диагонали АВ1?

Геометрия 11 класс Сечения многогранников площадь сечения куба куб АВСДА1В1С1Д1 геометрия 11 класс диагональ АВ1 середины ребер длина ребра 4 Новый

Для решения задачи начнем с анализа куба ABCDA1B1C1D1, где длина ребра равна 4. Нам нужно найти площадь сечения, которое проходит через середины ребер AB и AD и параллельно диагонали AB1.

Шаг 1: Определение координат вершин куба.

• A(0, 0, 0)
• B(4, 0, 0)
• C(4, 4, 0)
• D(0, 4, 0)
• A1(0, 0, 4)
• B1(4, 0, 4)
• C1(4, 4, 4)
• D1(0, 4, 4)

Шаг 2: Находим середины ребер AB и AD.

• Середина ребра AB: M1(2, 0, 0)
• Середина ребра AD: M2(0, 2, 0)

Шаг 3: Определим направление диагонали AB1.

Диагональ AB1 соединяет точки A(0, 0, 0) и B1(4, 0, 4). Вектор, направляющий эту диагональ, можно найти как:

• Вектор AB1 = B1 - A = (4, 0, 4) - (0, 0, 0) = (4, 0, 4).

Шаг 4: Находим уравнение плоскости, проходящей через точки M1 и M2 и параллельной вектору AB1.

Для этого найдем вектор, соединяющий M1 и M2:

• Вектор M1M2 = M2 - M1 = (0, 2, 0) - (2, 0, 0) = (-2, 2, 0).

Теперь мы можем найти нормальный вектор к плоскости, используя векторное произведение векторов AB1 и M1M2:

• AB1 = (4, 0, 4)
• M1M2 = (-2, 2, 0)

Векторное произведение:

• n = AB1 x M1M2 = |i j k|
• |4 0 4|
• |-2 2 0|

Вычисляя определитель, получаем:

• n = (0*0 - 4*2)i - (4*0 - 4*(-2))j + (4*2 - 0*(-2))k
• n = (-8)i - (8)j + (8)k = (-8, -8, 8).

Шаг 5: Уравнение плоскости.

Уравнение плоскости имеет вид:

-8(x - 2) - 8(y - 0) + 8(z - 0) = 0, что упрощается до:

-8x - 8y + 8z + 16 = 0, или x + y - z = 2.

Шаг 6: Находим точки пересечения плоскости с гранями куба.

Пересечение плоскости с гранями куба даст нам точки, которые образуют сечение. Мы подставляем значения координат границ куба (0 и 4) в уравнение плоскости:

• Если x = 0, y = 0, то z = 2 (точка P1(0, 0, 2));
• Если x = 0, y = 4, то z = 2 (точка P2(0, 4, 2));
• Если x = 4, y = 0, то z = 2 (точка P3(4, 0, 2));
• Если x = 4, y = 4, то z = 6 (не подходит);

Таким образом, мы имеем 3 точки: P1(0, 0, 2), P2(0, 4, 2) и P3(4, 0, 2).

Шаг 7: Находим площадь треугольника P1P2P3.

Для нахождения площади треугольника используем формулу:

Площадь = 1/2 * |AB x AC|, где A - одна из вершин, B и C - другие две вершины.

• AB = P2 - P1 = (0, 4, 2) - (0, 0, 2) = (0, 4, 0);
• AC = P3 - P1 = (4, 0, 2) - (0, 0, 2) = (4, 0, 0).

Теперь находим векторное произведение:

• AB x AC = |i j k|
• |0 4 0|
• |4 0 0|

Вычисляем определитель:

• AB x AC = (0*0 - 0*4)i - (0*0 - 0*4)j + (0*4 - 4*0)k = (0, 0, 16).

Длина векторного произведения равна 16.

Теперь подставляем в формулу площади:

Площадь = 1/2 * 16 = 8.

Ответ: Площадь сечения, проходящего через середины ребер AB и AD и параллельно диагонали AB1, равна 8.