Похожие вопросы
2025-12-02 21:23:51
В правильном тетраэдре QABC со стороной 4 см, точка M является точкой пересечения медиан треугольника ABC. Точка K находится на отрезке QM, при этом соотношение QK : KM равно 3 : 1. Если через точку K провести плоскость, параллельную плоскости ABC, каков будет периметр полученного сечения? Пожалуйста, предоставьте решение с рисунком, аргументацией с использованием формул, теорем и свойств, оформленное как в тетрадке, без большого текста.
Геометрия 11 класс Сечения многогранников правильный тетраэдр медианы треугольника точка пересечения периметр сечения плоскость параллельная свойства геометрии решение задачи геометрические теоремы Новый
2025-12-02 21:24:20
Решение задачи:
1. Определим координаты вершин тетраэдра QABC.
- Q(0, 0, h), где h = (4√2)/√3 (высота тетраэдра).
- A(2, 2, 0)
- B(2, -2, 0)
- C(-2, 0, 0)
2. Найдем координаты точки M, центра тяжести треугольника ABC.
- M = ((Ax + Bx + Cx)/3, (Ay + By + Cy)/3, (Az + Bz + Cz)/3)
- M = ((2 + 2 - 2)/3, (2 - 2 + 0)/3, (0 + 0 + 0)/3) = (2/3, 0, 0)
3. Найдем координаты точки K на отрезке QM.
- Согласно соотношению QK : KM = 3 : 1, можно сказать, что K делит отрезок QM в отношении 3:1.
- Координаты K = (3M + Q)/4 = (3*(2/3, 0, 0) + (0, 0, h))/4 = (1.5, 0, h/4).
4. Найдем координаты точки K.
- h = (4√2)/√3, следовательно, h/4 = √2/√3.
- Координаты K = (1.5, 0, √2/√3).
5. Определим уравнение плоскости, проходящей через K и параллельной плоскости ABC.
- Плоскость ABC имеет уравнение z = 0.
- Плоскость, параллельная ABC, будет иметь уравнение z = √2/√3.
6. Найдем точки пересечения плоскости с ребрами тетраэдра.
- Ребра AQ, BQ и CQ пересекаются с плоскостью z = √2/√3.
- Для ребра AQ: x = 2 - 2t, y = 2 - 2t, z = ht = (4√2/√3)t.
- Приравниваем z к √2/√3: (4√2/√3)t = √2/√3 ⇒ t = 1/4.
- Координаты A' = (2 - 2*1/4, 2 - 2*1/4, √2/√3) = (1.5, 1.5, √2/√3).
- Аналогично находим точки B' и C'.
7. Находим координаты B' и C'.
- B' = (1.5, -1.5, √2/√3)
- C' = (-1.5, 0, √2/√3)
8. Находим длины сторон треугольника A'B'C'.
- AB' = √((1.5 - 1.5)² + (1.5 + 1.5)² + (√2/√3 - √2/√3)²) = √(0 + 6) = √6.
- BC' = √((1.5 + 1.5)² + (-1.5 - 0)² + (√2/√3 - √2/√3)²) = √(6) = √6.
- CA' = √((-1.5 - 1.5)² + (0 - 1.5)² + (√2/√3 - √2/√3)²) = √(6) = √6.
9. Периметр треугольника A'B'C'.
- P = AB' + BC' + CA' = √6 + √6 + √6 = 3√6.
Ответ: Периметр сечения равен 3√6 см.