В правильной четырехугольной пирамиде SABCD через середину K ребра CS проведена плоскость, параллельная плоскости основания пирамиды. Какова площадь сечения, если диагональ основания пирамиды составляет 4√2 см?

Геометрия 11 класс Сечения многогранников правильная четырехугольная пирамида плоскость сечения площадь сечения диагональ основания геометрия 11 класс Новый

Чтобы найти площадь сечения, проведенного через середину ребра CS в правильной четырехугольной пирамиде SABCD, давайте разберем задачу по шагам.

Шаг 1: Определение параметров основания пирамиды

• Основание пирамиды является квадратом ABCD.
• Согласно условию, диагональ квадрата составляет 4√2 см.

Для квадрата с диагональю d, длина стороны a может быть найдена по формуле:

a = d / √2.

Подставим значение диагонали:

a = (4√2) / √2 = 4 см.

Шаг 2: Находим площадь основания

Площадь квадрата S основание равна:

S = a² = 4² = 16 см².

Шаг 3: Определение высоты пирамиды

В правильной четырехугольной пирамиде высота проведена из вершины S к центру основания O (середина квадрата ABCD). Поскольку мы не знаем высоту, но она не нужна для нахождения площади сечения.

Шаг 4: Параллельная плоскость

Плоскость, проходящая через середину ребра CS, параллельна основанию. Это означает, что сечение будет также иметь форму квадрата.

Шаг 5: Определение стороны сечения

Поскольку плоскость проходит через середину ребра CS, то высота от точки K до основания будет равна половине высоты пирамиды. Это уменьшает размер квадрата сечения по сравнению с основанием.

Согласно свойству подобия, если сечение параллельно основанию, то оно будет подобно основанию, и длина стороны сечения будет равна:

а' = a * (h' / h),

где h' - высота сечения (в данном случае h' = h/2), а h - высота пирамиды.

Таким образом, длина стороны квадрата сечения:

а' = 4 * (1/2) = 2 см.

Шаг 6: Вычисление площади сечения

Площадь сечения S' равна:

S' = (а')² = 2² = 4 см².

Ответ: Площадь сечения составляет 4 см².