В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 8 см, а двугранный угол при основании составляет 30 °. Какой объем у этой пирамиды?

Геометрия 11 класс Объём пирамиды объём правильной четырёхугольной пирамиды высота пирамиды 8 см двугранный угол 30 градусов задачи по геометрии 11 класс формула объёма пирамиды Новый

Чтобы найти объем правильной четырехугольной пирамиды, нам нужно использовать формулу для объема пирамиды:

V = (1/3) * S * h

где V - объем, S - площадь основания, h - высота пирамиды.

В данной задаче высота пирамиды h равна 8 см. Теперь нам нужно найти площадь основания S.

Основание правильной четырехугольной пирамиды является квадратом. Для нахождения площади квадрата нам нужно знать длину его стороны. Двугранный угол при основании равен 30°. Это значит, что угол между боковой гранью и плоскостью основания составляет 30°.

Мы можем использовать тригонометрию для нахождения длины стороны основания. Рассмотрим треугольник, образованный высотой, половиной стороны основания и боковой гранью пирамиды. Пусть a - длина стороны основания квадрата. Тогда половина стороны будет равна a/2.

В этом треугольнике мы можем использовать тангенс угла 30°:

tan(30°) = h / (a/2)

Зная, что tan(30°) = 1/√3, подставим значения:

1/√3 = 8 / (a/2)

Теперь выразим a:

a/2 = 8 * √3

Умножим обе стороны на 2:

a = 16 * √3

Теперь мы можем найти площадь основания S:

S = a^2 = (16 * √3)^2 = 256 * 3 = 768 см²

Теперь, когда мы знаем площадь основания, можем найти объем пирамиды:

V = (1/3) * S * h = (1/3) * 768 * 8

Выполним вычисления:

V = (1/3) * 768 * 8 = 2048 см³

Таким образом, объем правильной четырехугольной пирамиды составляет 2048 см³.