В правильной шестиугольной призме ABCDEF A1B1C1D1E1F1 сторона основания равна 3, а боковое ребро равно 4. Какой угол образует прямая AD с плоскостью AВB1?

Геометрия 11 класс Углы между прямыми и плоскостями правильная шестиугольная призма угол AD плоскость AВB1 геометрия 11 класс боковое ребро сторона основания Новый

Чтобы найти угол между прямой AD и плоскостью AВB1 в правильной шестиугольной призме, давайте разберем шаги решения этой задачи.

Шаг 1: Определим координаты вершин шестиугольной призмы.

Пусть основание шестиугольной призмы ABCDEF находится в плоскости XY. Мы можем задать координаты вершин следующим образом:

• A(0, 0, 0)
• B(3, 0, 0)
• C(4.5, 2.598, 0)
• D(3, 4.5, 0)
• E(0, 4.5, 0)
• F(-1.5, 2.598, 0)
• A1(0, 0, 4)
• B1(3, 0, 4)
• C1(4.5, 2.598, 4)
• D1(3, 4.5, 4)
• E1(0, 4.5, 4)
• F1(-1.5, 2.598, 4)

Шаг 2: Найдем векторы AD и AB.

Вектор AD можно найти, вычитая координаты точки A из координат точки D:

• AD = D - A = (3, 4.5, 0) - (0, 0, 0) = (3, 4.5, 0)

Вектор AB можно найти аналогично:

• AB = B - A = (3, 0, 0) - (0, 0, 0) = (3, 0, 0)

Шаг 3: Найдем нормальный вектор плоскости AВB1.

Для нахождения нормального вектора плоскости AВB1, нам нужно найти два вектора, которые лежат в этой плоскости. Мы можем взять векторы AB и A1B1:

• A1B1 = B1 - A1 = (3, 0, 4) - (0, 0, 4) = (3, 0, 0)

Теперь, чтобы найти нормальный вектор плоскости, воспользуемся векторным произведением векторов AB и A1B1:

• N = AB x A1B1

В данном случае, векторы AB и A1B1 совпадают по направлению, поэтому нормальный вектор будет равен (0, 0, 1), так как плоскость AВB1 параллельна оси Z.

Шаг 4: Найдем угол между вектором AD и нормальным вектором плоскости.

Угол между вектором AD и нормальным вектором плоскости можно найти с помощью скалярного произведения:

• cos(θ) = (AD • N) / (|AD| * |N|)

Где |AD| и |N| - длины векторов AD и N соответственно.

Сначала найдем длину вектора AD:

• |AD| = sqrt(3^2 + 4.5^2 + 0^2) = sqrt(9 + 20.25) = sqrt(29.25)

Длина нормального вектора |N| равна 1, так как это единичный вектор.

Теперь найдем скалярное произведение:

• AD • N = (3, 4.5, 0) • (0, 0, 1) = 0

Таким образом, cos(θ) = 0, что означает, что угол θ между вектором AD и нормальным вектором равен 90 градусам.

Шаг 5: Найдем угол между AD и плоскостью AВB1.

Угол между вектором и плоскостью равен 90 градусов минус угол между вектором и нормальным вектором:

• угол между AD и плоскостью AВB1 = 90° - 90° = 0°.

Таким образом, прямая AD перпендикулярна плоскости AВB1. Ответ: угол между AD и плоскостью AВB1 равен 0 градусов.