В правильной треугольной пирамиде SABC (с вершиной S) сторона основания равна 6, а боковое ребро равно корень из 21. Какой угол образуется между плоскостями SAB и ABC?

Геометрия 11 класс Углы между плоскостями правильная треугольная пирамида Угол между плоскостями геометрия 11 класс основание пирамиды боковое ребро пирамиды Новый

Для решения задачи нам необходимо найти угол между плоскостями SAB и ABC в правильной треугольной пирамиде SABC. Давайте разберем шаги, которые нам нужно выполнить.

Шаг 1: Определим координаты вершин пирамиды

• Рассмотрим основание ABC. Это равносторонний треугольник со стороной 6. Мы можем расположить его в координатной плоскости следующим образом:
  • A(0, 0, 0)
  • B(6, 0, 0)
  • C(3, 3√3, 0)
• Теперь найдем координаты вершины S. Поскольку боковое ребро SA равно корень из 21, а точка S находится над центром треугольника ABC, нам нужно найти координаты центра треугольника ABC. Центр треугольника находится в точке G(3, √3, 0).
• Теперь определим координаты точки S. Поскольку S находится над G, его координаты будут S(3, √3, h), где h - высота от точки S до плоскости ABC. Мы можем найти h, используя теорему Пифагора:
• SA² = h² + AG², где AG - расстояние от точки A до центра G.
• AG = √((3-0)² + (√3-0)²) = √(9 + 3) = √12 = 2√3.
• Теперь подставим в уравнение: (√21)² = h² + (2√3)².
• 21 = h² + 12. Следовательно, h² = 21 - 12 = 9, и h = 3.
• Таким образом, координаты точки S будут S(3, √3, 3).

Шаг 2: Найдем нормали к плоскостям SAB и ABC

• Для плоскости SAB нам нужно найти векторы AB и AS:
  • AB = B - A = (6, 0, 0) - (0, 0, 0) = (6, 0, 0).
  • AS = S - A = (3, √3, 3) - (0, 0, 0) = (3, √3, 3).
• Теперь найдем векторное произведение AB и AS, чтобы получить нормальный вектор n1 к плоскости SAB:
  • n1 = AB x AS = |i j k|
  • |6 0 0|
  • |3 √3 3|
  • n1 = (0*3 - 0*√3)i - (6*3 - 0*0)j + (6*√3 - 0*3)k = (0)i - (18)j + (6√3)k = (0, -18, 6√3).
• Теперь найдем нормаль к плоскости ABC. Для этого найдем векторы AB и AC:
  • AC = C - A = (3, 3√3, 0) - (0, 0, 0) = (3, 3√3, 0).
• Теперь найдем векторное произведение AB и AC, чтобы получить нормальный вектор n2 к плоскости ABC:
  • n2 = AB x AC = |i j k|
  • |6 0 0|
  • |3 3√3 0|
  • n2 = (0*0 - 0*3√3)i - (6*0 - 0*3)j + (6*3√3 - 0*3)k = (0)i - (0)j + (18√3)k = (0, 0, 18√3).

Шаг 3: Найдем угол между нормалями

• Теперь, чтобы найти угол между плоскостями, нам нужно найти угол между нормальными векторами n1 и n2. Используем формулу для косинуса угла между двумя векторами:
• cos(θ) = (n1 · n2) / (|n1| * |n2|), где "·" - скалярное произведение векторов.
• Сначала найдем скалярное произведение n1 и n2:
  • n1 · n2 = (0, -18, 6√3) · (0, 0, 18√3) = 0*0 + (-18)*0 + (6√3)*(18√3) = 108.
• Теперь найдем длины векторов n1 и n2:
  • |n1| = √(0² + (-18)² + (6√3)²) = √(324 + 108) = √432 = 12√3.
  • |n2| = √(0² + 0² + (18√3)²) = √(972) = 18√3.
• Теперь подставим значения в формулу:
  • cos(θ) = 108 / (12√3 * 18√3) = 108 / (216) = 0.5.
• Следовательно, угол θ = arccos(0.5) = 60°.

Ответ: Угол между плоскостями SAB и ABC равен 60°.