В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 сторона основания равна 1, а высота равна 2. Какое расстояние от точки A до плоскости A1MC, если M — середина ребра BB1?

Как можно провести перпендикуляр из точки A к плоскости A1MC и доказать, что этот отрезок перпендикулярен?

Геометрия 11 класс Расстояние от точки до плоскости правильная треугольная призма сторона основания 1 высота 2 расстояние от точки A плоскость A1MC середина ребра BB1 перпендикуляр из точки A доказательство перпендикуляра Новый

Чтобы найти расстояние от точки A до плоскости A1MC, сначала определим координаты всех ключевых точек в нашей правильной треугольной призме.

• Точка A имеет координаты (0, 0, 0).
• Точка B имеет координаты (1, 0, 0).
• Точка C имеет координаты (0.5, sqrt(3)/2, 0) — так как это правильный треугольник, основание которого равно 1.
• Точка A1 имеет координаты (0, 0, 2) — это точка, находящаяся над A на высоте 2.
• Точка B1 имеет координаты (1, 0, 2) — это точка, находящаяся над B на высоте 2.
• Точка C1 имеет координаты (0.5, sqrt(3)/2, 2) — это точка, находящаяся над C на высоте 2.
• Точка M — середина ребра BB1, поэтому её координаты: (1, 0, 1).

Теперь определим уравнение плоскости A1MC. Для этого нам нужно найти векторы, которые лежат в этой плоскости. Мы можем взять векторы A1M и A1C.

• Вектор A1M = M - A1 = (1, 0, 1) - (0, 0, 2) = (1, 0, -1).
• Вектор A1C = C - A1 = (0.5, sqrt(3)/2, 0) - (0, 0, 2) = (0.5, sqrt(3)/2, -2).

Теперь найдем нормальный вектор к плоскости A1MC, вычислив векторное произведение A1M и A1C:

• Векторное произведение: N = A1M x A1C.
• Определяем его координаты:
• N = |i j k|
• |1 0 -1|
• |0.5 sqrt(3)/2 -2|

Вычисляем детерминант:

• N_x = 0 * (-2) - (-1) * (sqrt(3)/2) = sqrt(3)/2.
• N_y = -1 * 0.5 - 1 * (-2) = 2 - 0.5 = 1.5.
• N_z = 1 * (sqrt(3)/2) - 0 * 0.5 = sqrt(3)/2.

Таким образом, нормальный вектор N = (sqrt(3)/2, 1.5, sqrt(3)/2).

Теперь у нас есть нормальный вектор, и мы можем записать уравнение плоскости A1MC в виде:

sqrt(3)/2 * x + 1.5 * y + sqrt(3)/2 * z = d.

Чтобы найти d, подставим координаты точки A1 (0, 0, 2):

sqrt(3)/2 * 0 + 1.5 * 0 + sqrt(3)/2 * 2 = d, то есть d = sqrt(3).

Теперь у нас есть уравнение плоскости:

sqrt(3)/2 * x + 1.5 * y + sqrt(3)/2 * z = sqrt(3).

Теперь, чтобы найти расстояние от точки A до плоскости, используем формулу для расстояния от точки до плоскости:

Расстояние = |Ax + By + Cz - D| / sqrt(A^2 + B^2 + C^2),

где (A, B, C) — координаты нормального вектора, D — значение, найденное ранее, а (x, y, z) — координаты точки A.

Подставляем:

Расстояние = |(sqrt(3)/2 * 0 + 1.5 * 0 + sqrt(3)/2 * 0) - sqrt(3)| / sqrt((sqrt(3)/2)^2 + (1.5)^2 + (sqrt(3)/2)^2).

Расстояние = |0 - sqrt(3)| / sqrt(3/4 + 2.25 + 3/4) = sqrt(3) / sqrt(3) = 1.

Таким образом, расстояние от точки A до плоскости A1MC равно 1.

Теперь, чтобы доказать, что отрезок, проведенный из точки A перпендикулярно плоскости A1MC, действительно перпендикулярен, мы можем проверить, что вектор, соединяющий A и проекцию точки A на плоскость, будет коллинеарен нормальному вектору плоскости.

Проекция точки A на плоскость будет находиться на расстоянии 1 от точки A в направлении нормального вектора. Если мы обозначим проекцию как P, то координаты P будут:

• P = A + k * N, где k — скаляр, который мы можем найти через расстояние.

Таким образом, проекция P будет находиться на расстоянии 1 от A в направлении нормального вектора, что и доказывает перпендикулярность.

Итак, мы нашли расстояние и доказали перпендикулярность отрезка AP к плоскости A1MC.