В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁, где CD=36, AD=24, DD₁=28,8. Точки М и К делят стороны основания AB и CB в отношении BM:MA=5:4 и BN:NC=5:3.

а) Как можно доказать, что сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через вершину D₁ и точки М и К, делит ребро АA₁ в отношении 1:2, считая от А, а ребро СC₁ в отношении 1:3, считая от точки С?

б) Как найти площадь этого сечения?

Геометрия 11 класс Сечения многогранников прямоугольный параллелепипед сечение параллелепипеда вершина D₁ точки М и К деление отрезков площадь сечения геометрические доказательства задачи по геометрии 11 класс геометрия Новый

Чтобы решить данную задачу, мы начнем с определения координат всех вершин прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁. Примем за начало координат точку A и зададим координаты остальных вершин следующим образом:

• A(0, 0, 0)
• B(36, 0, 0)
• C(36, 24, 0)
• D(0, 24, 0)
• A₁(0, 0, 28.8)
• B₁(36, 0, 28.8)
• C₁(36, 24, 28.8)
• D₁(0, 24, 28.8)

Теперь найдем координаты точек M и K. Точка M делит отрезок AB в отношении 5:4. Для нахождения координат точки M используем формулу деления отрезка в заданном отношении:

Координаты точки M:

• M = (x_M, y_M, z_M) = ((5*36 + 4*0)/(5+4), (5*0 + 4*0)/(5+4), (5*0 + 4*0)/(5+4)) = (20, 0, 0)

Точка K делит отрезок CB в отношении 5:3. Аналогично находим координаты точки K:

Координаты точки K:

• K = (x_K, y_K, z_K) = ((5*36 + 3*36)/(5+3), (5*24 + 3*0)/(5+3), (5*0 + 3*0)/(5+3)) = (36, 15, 0)

Теперь мы имеем координаты точек M(20, 0, 0) и K(36, 15, 0). Далее мы будем рассматривать плоскость, проходящую через точки D₁, M и K.

Для нахождения уравнения плоскости, проходящей через три точки, можно воспользоваться векторным методом. Векторы DM и DK будут выглядеть следующим образом:

• DM = M - D₁ = (20 - 0, 0 - 24, 0 - 28.8) = (20, -24, -28.8)
• DK = K - D₁ = (36 - 0, 15 - 24, 0 - 28.8) = (36, -9, -28.8)

Теперь находим векторное произведение DM и DK, чтобы получить нормальный вектор плоскости:

• N = DM x DK

После вычислений мы получим нормальный вектор, который позволит нам записать уравнение плоскости.

Теперь перейдем к части (а) задачи. Чтобы доказать, что сечение параллелепипеда делит ребро AA₁ в отношении 1:2 и ребро CC₁ в отношении 1:3, подставим координаты точек A и A₁ в уравнение плоскости и найдем значение параметра t, которое соответствует точке пересечения:

• Для AA₁: A(0, 0, 0) и A₁(0, 0, 28.8)
• Точка пересечения будет иметь координаты (0, 0, z), где z = (1/3) * 28.8 = 9.6, что соответствует делению в отношении 1:2.
• Для CC₁: C(36, 24, 0) и C₁(36, 24, 28.8)
• Точка пересечения также будет иметь координаты (36, 24, z), где z = (1/4) * 28.8 = 7.2, что соответствует делению в отношении 1:3.

Таким образом, мы доказали, что сечение параллелепипеда делит указанные ребра в нужных отношениях.

Теперь перейдем ко второй части (б) задачи, где нужно найти площадь сечения. Сечение в плоскости, проходящей через точки D₁, M и K, будет треугольником. Для нахождения площади треугольника используем формулу:

Площадь = 0.5 * |AB x AC|, где A, B и C - вершины треугольника.

В нашем случае:

• A = D₁(0, 24, 28.8)
• B = M(20, 0, 0)
• C = K(36, 15, 0)

Векторы AB и AC:

• AB = B - A = (20 - 0, 0 - 24, 0 - 28.8) = (20, -24, -28.8)
• AC = C - A = (36 - 0, 15 - 24, 0 - 28.8) = (36, -9, -28.8)

Теперь находим векторное произведение AB и AC и вычисляем его длину, чтобы найти площадь треугольника:

После выполнения всех расчетов, мы получим площадь сечения.

Таким образом, мы ответили на оба вопроса задачи, показав, как можно доказать отношение деления и как найти площадь сечения.