В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 сделано сечение плоскостью, которая проходит через прямую AC и вершину D1. Угол между плоскостью сечения и основанием равен 45 градусов. Стороны основания параллелепипеда составляют 12 дм и 16 дм. Какова площадь этого сечения?

Геометрия 11 класс Сечения многогранников параллелепипед сечение площадь угол геометрия 11 класс прямоугольный параллелепипед основание 45 градусов AC D1 Новый

Чтобы найти площадь сечения, которое проходит через прямую AC и вершину D1 в прямоугольном параллелепипеде, необходимо следовать нескольким шагам.

Шаг 1: Определение координат вершин параллелепипеда.

Рассмотрим параллелепипед ABCDA1B1C1D1 с основаниями ABCD и A1B1C1D1. Пусть:

• A(0, 0, 0)
• B(12, 0, 0)
• C(12, 16, 0)
• D(0, 16, 0)
• A1(0, 0, h)
• B1(12, 0, h)
• C1(12, 16, h)
• D1(0, 16, h)

Где h - высота параллелепипеда.

Шаг 2: Определение уравнения плоскости сечения.

Плоскость проходит через прямую AC и точку D1. Прямая AC соединяет точки A и C:

• A(0, 0, 0)
• C(12, 16, 0)

Уравнение прямой AC можно записать в параметрической форме:

• x = 0 + t(12 - 0) = 12t
• y = 0 + t(16 - 0) = 16t
• z = 0 + t(0 - 0) = 0

где t изменяется от 0 до 1.

Теперь добавим точку D1(0, 16, h). Плоскость сечения образует угол 45 градусов с основанием, что означает, что наклон плоскости равен 1 (изменение z на единицу соответствует изменению x и y на единицу).

Шаг 3: Определение координат сечения.

Плоскость будет пересекаться с осями, и мы можем найти точки пересечения с осями x и y. Поскольку угол 45 градусов, то для каждой единицы, на которую мы поднимаемся по оси z, мы перемещаемся на равные расстояния по осям x и y.

Шаг 4: Нахождение пересечений и площади сечения.

Для нахождения координат точек пересечения с осями, используем уравнение плоскости. Поскольку плоскость проходит через D1 и AC, можно записать уравнение плоскости в виде:

z = x + y - k

где k - это значение, соответствующее высоте D1. При подстановке D1(0, 16, h):

• h = 0 + 16 - k

Для 45 градусов, k будет равно h. Таким образом, у нас есть:

• z = x + y - h

Теперь найдем пересечения с плоскостью z = 0:

• 0 = x + y - h
• y = h - x

Теперь находим координаты точек пересечения с осями:

• При x = 0, y = h
• При y = 0, x = h

Шаг 5: Площадь треугольника.

Таким образом, у нас получается треугольник с вершинами (0, 0), (h, 0) и (0, h). Площадь этого треугольника можно вычислить по формуле:

Площадь = (1/2) * основание * высота = (1/2) * h * h = (h^2) / 2.

Теперь необходимо знать высоту h. Если высота параллелепипеда не указана, то мы можем предположить, что h = 12 дм (или 16 дм). Таким образом, площадь сечения будет зависеть от выбранной высоты.

Итог:

Площадь сечения равна:

• Если h = 12 дм: Площадь = (12^2) / 2 = 72 дм².
• Если h = 16 дм: Площадь = (16^2) / 2 = 128 дм².

Таким образом, площадь сечения зависит от высоты параллелепипеда и составляет 72 дм² или 128 дм².