В прямоугольном параллелепипеде длина ребра CD равна 4, длина ребра BC равна 2√5, а длина ребра CC1 равна 4. Точка K находится в середине ребра DD1. Какова площадь сечения, которое проходит через точки C1, B1 и K?

Геометрия 11 класс Сечения многогранников параллелепипед длина рёбер площадь сечения точка K середина ребра Новый

Для решения задачи начнем с определения координат вершин прямоугольного параллелепипеда. Обозначим координаты точек следующим образом:

• C(0, 0, 0)
• B(2√5, 0, 0)
• D(0, 4, 0)
• C1(0, 0, 4)
• B1(2√5, 0, 4)
• D1(0, 4, 4)

Теперь определим координаты точки K, которая находится в середине ребра DD1. Ребро DD1 соединяет точки D и D1:

• D(0, 4, 0)
• D1(0, 4, 4)

Координаты точки K будут равны:

• K(0, 4, 2)

Теперь у нас есть три точки, через которые проходит сечение:

• C1(0, 0, 4)
• B1(2√5, 0, 4)
• K(0, 4, 2)

Следующим шагом будет нахождение векторов, которые будут определять плоскость сечения. Для этого вычислим два вектора:

• v1 = B1 - C1 = (2√5, 0, 4) - (0, 0, 4) = (2√5, 0, 0)
• v2 = K - C1 = (0, 4, 2) - (0, 0, 4) = (0, 4, -2)

Теперь найдем векторное произведение v1 и v2, чтобы получить нормальный вектор плоскости:

• v1 = (2√5, 0, 0)
• v2 = (0, 4, -2)

Векторное произведение v1 и v2 будет равно:

• N = v1 x v2 = |i j k|
• |2√5 0 0|
• |0 4 -2|

Вычисляя детерминант, получаем:

• N = (0 * (-2) - 0 * 4)i - (2√5 * (-2) - 0 * 0)j + (2√5 * 4 - 0 * 0)k
• N = (0)i + (4√5)j + (8√5)k

Теперь мы можем найти площадь треугольника C1B1K, используя формулу:

Площадь = 0.5 * |v1 x v2|

Для этого найдем модуль векторного произведения:

|N| = √((0)^2 + (4√5)^2 + (8√5)^2) = √(0 + 80 + 320) = √400 = 20

Таким образом, площадь треугольника:

Площадь = 0.5 * 20 = 10

Ответ: Площадь сечения, проходящего через точки C1, B1 и K, равна 10.