В равнобедренной трапеции косинус острого угла равен 1/4, а длины оснований составляют 5 и 9. Как можно определить длину боковой стороны этой трапеции? Пожалуйста, помогите!

Геометрия 11 класс Равнобедренные трапеции равнобедренная трапеция косинус острого угла длина боковой стороны основания трапеции геометрия 11 класс Новый

Чтобы найти длину боковой стороны равнобедренной трапеции, где косинус острого угла равен 1/4, а длины оснований составляют 5 и 9, мы можем использовать следующие шаги:

1. Обозначим элементы трапеции:
   • Обозначим основания трапеции как a = 5 и b = 9 (где a < b).
   • Обозначим боковые стороны как c.
   • Обозначим высоту трапеции как h.
2. Найдём разность оснований:
   • Разность оснований: d = b - a = 9 - 5 = 4.
3. Используем косинус острого угла:
   • Косинус острого угла равен 1/4. Это значит, что мы можем представить его в виде треугольника, где основание (или проекция боковой стороны на основание) равно c * cos(угол).
   • Пусть угол между боковой стороной и высотой равен α. Тогда cos(α) = 1/4.
4. Найдём высоту трапеции:
   • С помощью тригонометрии мы можем выразить высоту h через боковую сторону c: h = c * sin(α).
   • Также, используя соотношение между косинусом и синусом, мы можем найти sin(α): sin(α) = sqrt(1 - cos²(α)) = sqrt(1 - (1/4)²) = sqrt(1 - 1/16) = sqrt(15/16) = √15/4.
5. Составим уравнение для высоты:
   • Теперь мы можем выразить высоту через боковую сторону: h = c * (√15/4).
6. Составим уравнение для разности оснований:
   • Разделим разность оснований пополам, чтобы найти проекции на основание: проекция = d/2 = 4/2 = 2.
   • Теперь у нас есть прямоугольный треугольник, где одна сторона равна 2, а другая - h. Используем теорему Пифагора:
   • c² = h² + (d/2)², то есть c² = h² + 2² = h² + 4.
7. Подставим h в уравнение:
   • Подставим h = c * (√15/4) в уравнение: c² = (c * (√15/4))² + 4.
   • Раскроем скобки: c² = (c² * 15/16) + 4.
   • Упростим: c² - (15/16)c² = 4.
   • Получим: (1 - 15/16)c² = 4, то есть (1/16)c² = 4.
   • Умножим обе стороны на 16: c² = 64.
   • Следовательно, c = √64 = 8.
8. Ответ:
   • Длина боковой стороны равнобедренной трапеции составляет 8.