В равнобедренной трапеции одна из диагоналей является биссектрисой острого угла. Известно, что периметр трапеции составляет 14 см, а большее основание равно 5 см. Как можно определить меньшее основание этой трапеции?

Геометрия 11 класс Равнобедренные трапеции равнобедренная трапеция биссектрисы периметр основание геометрия 11 класс Новый

Для решения задачи начнем с того, что у нас есть равнобедренная трапеция, в которой одна из диагоналей является биссектрисой острого угла. Зная периметр и большее основание, мы можем найти меньшее основание.

Давайте обозначим:

• AB - большее основание (5 см);
• CD - меньшее основание (которое мы ищем);
• AD и BC - боковые стороны (равны между собой, так как трапеция равнобедренная);
• P - периметр трапеции (14 см).

Периметр равнобедренной трапеции вычисляется по формуле:

P = AB + CD + AD + BC.

Так как AD = BC, то мы можем выразить это так:

P = AB + CD + 2AD.

Теперь подставим известные значения:

14 = 5 + CD + 2AD.

Преобразуем уравнение:

CD + 2AD = 14 - 5 = 9.

Теперь у нас есть уравнение, связывающее меньшее основание CD и боковые стороны AD. Поскольку одна из диагоналей является биссектрисой острого угла, мы можем использовать свойства биссектрисы. В равнобедренной трапеции, где диагональ является биссектрисой, выполняется следующее соотношение:

AD / BC = AB / CD.

Поскольку AD = BC, то мы можем записать:

AD / AD = AB / CD,

что упрощается до:

1 = 5 / CD.

Отсюда можем выразить CD:

CD = 5.

Теперь подставим значение CD обратно в уравнение:

5 + 2AD = 9.

Решим это уравнение:

2AD = 9 - 5 = 4,

AD = 4 / 2 = 2.

Таким образом, мы нашли, что боковые стороны равны 2 см. Теперь подставим значение AD обратно в уравнение с периметром:

CD + 2 * 2 = 9,

CD + 4 = 9,

CD = 9 - 4 = 5.

Таким образом, меньшее основание CD равно 5 см.

Однако, это значение не соответствует условиям задачи, так как в равнобедренной трапеции меньшее основание должно быть меньше большего. Мы сделали ошибку в предположениях. Давайте пересчитаем.

Используя свойства равнобедренной трапеции и биссектрисы, мы можем установить, что:

AB - CD = 2AD.

Подставим известные значения:

5 - CD = 2 * 2,

5 - CD = 4,

CD = 5 - 4 = 1.

Таким образом, меньшее основание CD равно 1 см.

Мы пришли к окончательному ответу: меньшее основание равнобедренной трапеции составляет 1 см.