В задании представлен прямоугольный параллелепипед ABDA1B1C1D1, и его диагональ образует угол 60 градусов с рёбрами B1C1 и D1C1. Какой угол образуют прямые AC1 и CC1?

Геометрия 11 класс Угол между прямыми в пространстве прямоугольный параллелепипед угол 60 градусов диагональ рёбра угол AC1 CC1 геометрия 11 класс Новый

Для решения задачи начнем с анализа геометрических свойств прямоугольного параллелепипеда и его диагоналей.

Прямоугольный параллелепипед ABDA1B1C1D1 имеет следующие вершины:

• A(0, 0, 0)
• B(a, 0, 0)
• C(a, b, 0)
• D(0, b, 0)
• A1(0, 0, c)
• B1(a, 0, c)
• C1(a, b, c)
• D1(0, b, c)

Диагональ параллелепипеда, например, AC1, соединяет вершины A и C1. Найдем координаты этой диагонали:

• Координаты A: (0, 0, 0)
• Координаты C1: (a, b, c)

Теперь найдем вектор AC1:

• AC1 = C1 - A = (a - 0, b - 0, c - 0) = (a, b, c)

Теперь найдем векторы B1C1 и D1C1:

• Координаты B1: (a, 0, c)
• Координаты D1: (0, b, c)

Вектор B1C1 = C1 - B1 = (a, b, c) - (a, 0, c) = (0, b, 0)

Вектор D1C1 = C1 - D1 = (a, b, c) - (0, b, c) = (a, 0, 0)

Теперь мы знаем, что угол между векторами AC1 и B1C1 образует угол 60 градусов. Для нахождения угла между векторами AC1 и CC1, нам нужно рассмотреть вектор CC1:

• Координаты C: (a, b, 0)
• Вектор CC1 = C1 - C = (a, b, c) - (a, b, 0) = (0, 0, c)

Теперь у нас есть векторы:

• AC1 = (a, b, c)
• CC1 = (0, 0, c)

Для нахождения угла между этими векторами используем формулу:

cos(θ) = (A · B) / (|A| |B|), где A и B - векторы, а θ - угол между ними.

Сначала найдем скалярное произведение векторов AC1 и CC1:

• A · B = (a, b, c) · (0, 0, c) = 0 + 0 + c^2 = c^2

Теперь найдем длины векторов:

• |AC1| = sqrt(a^2 + b^2 + c^2)
• |CC1| = sqrt(0^2 + 0^2 + c^2) = c

Теперь подставим все в формулу:

cos(θ) = c^2 / (sqrt(a^2 + b^2 + c^2) * c)

cos(θ) = c / sqrt(a^2 + b^2 + c^2)

Теперь, чтобы найти угол θ, используем арккосинус:

θ = arccos(c / sqrt(a^2 + b^2 + c^2))

Таким образом, угол между прямыми AC1 и CC1 можно выразить как θ = arccos(c / sqrt(a^2 + b^2 + c^2)).

Конечный ответ: угол между прямыми AC1 и CC1 зависит от соотношения длин рёбер параллелепипеда, но мы знаем, что он будет меньше 90 градусов, так как AC1 и CC1 пересекаются.