Для решения задачи начнем с изучения свойств ромба и прямой призмы.

Шаг 1: Определим свойства ромба.

• Ромб - это параллелограмм, у которого все стороны равны.
• Обозначим длину стороны ромба как a.
• Согласно условию, одна из диагоналей равна стороне: d1 = a.
• Пусть d2 - вторая диагональ. В ромбе диагонали пересекаются под прямым углом и делят друг друга пополам.
• Используем формулу для диагоналей ромба: d1^2 + d2^2 = 4a^2.

Подставим известные значения:

• Так как d1 = a, то: a^2 + d2^2 = 4a^2.
• Отсюда: d2^2 = 4a^2 - a^2 = 3a^2.
• Следовательно, d2 = a√3.

Шаг 2: Найдем площадь основания ромба.

• Площадь ромба можно вычислить по формуле: S = (d1 * d2) / 2.
• Подставим значения: S = (a * a√3) / 2 = (a^2√3) / 2.

Шаг 3: Найдем площадь полной поверхности призмы.

• Площадь полной поверхности прямой призмы определяется как: Sп = 2 * Sосн + Sбок, где Sбок - площадь боковой поверхности.
• Площадь боковой поверхности прямой призмы равна периметру основания, умноженному на высоту (боковое ребро).
• Периметр ромба P = 4a.
• Таким образом, Sбок = P * h = 4a * 2√3 = 8a√3.

Подставим выражения для Sп:

• Sп = 2 * (a^2√3) / 2 + 8a√3 = a^2√3 + 8a√3.

Согласно условию, площадь полной поверхности равна 48√3:

• a^2√3 + 8a√3 = 48√3.

Шаг 4: Упростим уравнение.

• Разделим обе стороны на √3:
• a^2 + 8a = 48.

Переносим все в одну сторону:

• a^2 + 8a - 48 = 0.

Шаг 5: Решим квадратное уравнение.

• Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения: a = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a.
• В нашем случае: a = 1, b = 8, c = -48.
• Находим дискриминант: D = 8^2 - 4 * 1 * (-48) = 64 + 192 = 256.
• Корни: a = (-8 ± √256) / 2 = (-8 ± 16) / 2.
• Таким образом, a1 = 4 и a2 = -12 (отрицательное значение не подходит).

Шаг 6: Найдем площадь основания.

• Теперь, когда мы знаем a = 4, подставим это значение в формулу для площади основания:
• S = (4^2√3) / 2 = (16√3) / 2 = 8√3.

Ответ: Площадь основания ромба составляет 8√3.