В прямоугольном треугольнике ABC, где угол A равен 90 градусам, угол B в два раза больше угла C, и разница между длинами сторон BC и AB составляет 15. Каковы длины сторон AB и BC?

Геометрия 6 класс Прямоугольные треугольники прямоугольный треугольник угол A 90 градусов угол B угол C длины сторон разница сторон задача по геометрии решение треугольника стороны AB и BC Новый

Давайте решим задачу шаг за шагом.

1. Обозначим углы треугольника:

• Угол A = 90 градусов (прямой угол).
• Обозначим угол C как x.
• Тогда угол B будет равен 2x (по условию задачи).

2. Поскольку сумма углов в треугольнике равна 180 градусам, можем записать уравнение:

90 + x + 2x = 180

3. Упростим это уравнение:

• 90 + 3x = 180
• 3x = 180 - 90
• 3x = 90
• x = 30

Таким образом, угол C = 30 градусов, а угол B = 2 * 30 = 60 градусов.

4. Теперь мы можем использовать соотношения в прямоугольном треугольнике. Обозначим:

• AB = a (катет напротив угла C),
• AC = b (катет напротив угла B),
• BC = c (гипотенуза).

5. По свойствам треугольников, мы знаем:

• Синус угла C = противолежащий катет / гипотенуза: sin(30) = a / c.
• Синус угла B = противолежащий катет / гипотенуза: sin(60) = b / c.

6. Значения синусов:

• sin(30) = 1/2,
• sin(60) = √3/2.

7. Теперь можем записать два уравнения:

• 1/2 = a / c => a = c / 2,
• √3/2 = b / c => b = c * √3 / 2.

8. По условию задачи, разница между длинами сторон BC и AB составляет 15:

c - a = 15.

9. Подставим a из первого уравнения:

c - (c / 2) = 15.

10. Упростим уравнение:

• c - c/2 = 15
• (2c - c) / 2 = 15
• c / 2 = 15
• c = 30.

11. Теперь найдем a и b:

• a = c / 2 = 30 / 2 = 15,
• b = c * √3 / 2 = 30 * √3 / 2 = 15√3.

Таким образом, длины сторон AB и BC равны:

• AB = 15,
• BC = 30.

Итак, ответ: длины сторон AB и BC равны 15 и 30 соответственно.