Чтобы доказать, что треугольники АВМ и АСМ равновелики, нам нужно рассмотреть некоторые свойства медианы и равенства площадей треугольников.

Шаг 1: Определение медианы.

Медиана треугольника – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. В нашем случае, медиана AM соединяет вершину A с серединой стороны BC. Обозначим точку D как середину отрезка BC.

Шаг 2: Рассмотрим треугольники.

Мы имеем треугольники АВМ и АСМ. Чтобы доказать их равновеликость, нам нужно показать, что их площади равны.

Шаг 3: Используем свойства медианы.

• Поскольку M – произвольная точка на медиане AM, то отрезок AD будет делить треугольник ABC на два меньших треугольника: ABD и ACD.
• Треугольники ABD и ACD равновелики, так как у них есть общая вершина A, и основание BD равно основанию CD (так как D – середина отрезка BC).

Шаг 4: Рассмотрим площади треугольников.

Площадь треугольника ABD равна половине площади треугольника ABC, как и площадь треугольника ACD. Обозначим площадь треугольника ABC как S. Тогда:

• Площадь треугольника ABD = S/2
• Площадь треугольника ACD = S/2

Шаг 5: Площадь треугольников АВМ и АСМ.

Так как точка M находится на медиане AM, то площади треугольников АВМ и АСМ также будут равны. Это связано с тем, что высота из точки A на основание BM и CM будет одинаковой (это высота из одной и той же точки на одну и ту же прямую).

Шаг 6: Заключение.

Таким образом, поскольку площади треугольников АВМ и АСМ равны, мы можем заключить, что треугольники АВМ и АСМ равновелики. Это и доказывает, что при произвольном выборе точки M на медиане AM треугольники АВМ и АСМ будут равновелики.