На стороне ВС квадрата АВСД выбрана точка К. Как можно доказать, что площадь треугольника АКД составляет половину площади квадрата?

Геометрия 7 класс Площадь треугольника площадь треугольника квадрат АВСД доказательство площади точка К свойства треугольника геометрия 7 класс Новый

Для доказательства того, что площадь треугольника АКД составляет половину площади квадрата ABCD, давайте рассмотрим квадрат ABCD и точку K, выбранную на стороне BC. Мы проведем доказательство шаг за шагом.

Шаг 1: Определим площадь квадрата

Пусть сторона квадрата ABCD равна a. Тогда площадь квадрата можно вычислить по формуле:

Площадь квадрата = a * a = a².

Шаг 2: Определим координаты точек

Предположим, что координаты точек квадрата следующие:

• A(0, 0)
• B(a, 0)
• C(a, a)
• D(0, a)

Точка K находится на стороне BC, поэтому её координаты можно записать как K(a, k), где k варьируется от 0 до a.

Шаг 3: Найдем площадь треугольника АКД

Площадь треугольника можно вычислить по формуле:

Площадь треугольника = 1/2 * основание * высота.

В нашем случае основание треугольника АКД будет равно отрезку AD, который равен a (так как A и D находятся на одной вертикали), а высота будет равна расстоянию от точки K до прямой AD.

Шаг 4: Определим высоту

Так как точка K имеет координаты (a, k), высота треугольника будет равна k, так как это расстояние от точки K до прямой AD (которая проходит по оси x).

Шаг 5: Подставим значения в формулу

Теперь подставим значения в формулу для площади треугольника:

Площадь треугольника АКД = 1/2 * a * k.

Шаг 6: Определим, как k меняется

Точка K может находиться на стороне BC, что означает, что k может варьироваться от 0 (K совпадает с B) до a (K совпадает с C). Таким образом, в зависимости от положения K, площадь треугольника будет изменяться от 0 до a²/2.

Шаг 7: Подсчитаем максимальную площадь

Когда K находится в середине отрезка BC, то k = a/2. В этом случае площадь треугольника будет равна:

Площадь треугольника АКД = 1/2 * a * (a/2) = 1/4 * a².

Это также соответствует половине площади квадрата, так как:

Площадь квадрата = a², а половина площади квадрата = 1/2 * a².

Заключение

Таким образом, площадь треугольника АКД действительно составляет половину площади квадрата ABCD, что и требовалось доказать. Мы рассмотрели, как площадь треугольника зависит от положения точки K на стороне BC и пришли к выводу, что площадь треугольника равна половине площади квадрата.