Чтобы найти площадь треугольника ВРМ, воспользуемся свойствами медианы и пропорциями, которые у нас есть.

1. Сначала вспомним, что медиана делит треугольник на два треугольника равной площади. Таким образом, медиана АМ делит треугольник ABC на два равных треугольника: AБМ и AMC. Поскольку площадь треугольника ABC равна 40 см², то площадь каждого из этих треугольников равна:

• Площадь треугольника AБМ = 40 см² / 2 = 20 см²;
• Площадь треугольника AMC = 20 см².

2. Теперь обратим внимание на точку Р на медиане АМ. По условию, отношение отрезков АР и РМ составляет 2:3. Это означает, что отрезок АР составляет 2 части, а отрезок РМ — 3 части. Всего у нас 2 + 3 = 5 частей.

3. Теперь найдем, какую долю от медианы занимает каждый из отрезков:

• АР = 2/5 от АМ;
• РМ = 3/5 от АМ.

4. Поскольку треугольник AБМ и треугольник ВРМ имеют общую высоту (высоту, проведенную из точки B на сторону АМ),то их площади будут пропорциональны основаниям, которые соответствуют отрезкам АР и РМ.

5. Площадь треугольника ВРМ будет равна:

• Площадь треугольника ВРМ = Площадь треугольника AБМ * (РМ / АМ) = 20 см² * (3/5).

6. Теперь подставим значения:

• Площадь треугольника ВРМ = 20 см² * 0.6 = 12 см².

Таким образом, площадь треугольника ВРМ составляет 12 см².