Давайте разберем задачу шаг за шагом. У нас есть прямоугольный треугольник, в котором один из острых углов равен 30°, а катет, прилежащий к этому углу, равен 3 см. Мы можем использовать свойства треугольников и тригонометрические функции для нахождения периметра и площади.

В прямоугольном треугольнике с углом 30° и прилежащим катетом, мы можем использовать соотношения между сторонами треугольника. Для угла 30° соотношение между катетами будет следующим:

• Прилежащий катет (к углу 30°) = 3 см.
• Противоположный катет (к углу 30°) = Прилежащий катет * tan(30°).

Зная, что tan(30°) = 1/√3, мы можем найти длину противоположного катета:

1. Противоположный катет = 3 см * (1/√3) = 3/√3 см = √3 см.

Теперь мы можем найти длину гипотенузы, используя соотношение для угла 30°:

• Гипотенуза = Прилежащий катет / cos(30°).

Зная, что cos(30°) = √3/2, мы можем найти гипотенузу:

1. Гипотенуза = 3 см / (√3/2) = 3 см * (2/√3) = 6/√3 см = 2√3 см.

Периметр P треугольника равен сумме всех его сторон:

1. P = Прилежащий катет + Противоположный катет + Гипотенуза.
2. P = 3 см + √3 см + 2√3 см = 3 см + 3√3 см.

Площадь S прямоугольного треугольника можно найти по формуле:

• S = (1/2) * основание * высота.

В нашем случае основание будет равняться одному катету, а высота другому:

1. S = (1/2) * 3 см * √3 см = (3√3)/2 см².

Таким образом, мы нашли:

• Периметр треугольника: P = 3 см + 3√3 см.
• Площадь треугольника: S = (3√3)/2 см².