1. Как можно вычислить площадь ромба, если длина его стороны составляет 15, а сумма диагоналей равна 42? 2. Если длины диагоналей ромба соотносятся как корень из 3 к 1, каким образом можно определить площадь ромба, зная, что его периметр равен 40?

Геометрия 8 класс Площадь ромба площадь ромба длина стороны ромба сумма диагоналей вычисление площади соотношение диагоналей периметр ромба формула площади ромба геометрия 8 класс Новый

1. Вычисление площади ромба с известной длиной стороны и суммой диагоналей:

Площадь ромба можно вычислить несколькими способами. Один из них основан на длине диагоналей, а другой - на стороне и угле между сторонами. В данном случае у нас есть длина стороны и сумма диагоналей.

Формула для площади ромба через его диагонали выглядит так:

Площадь = (d1 * d2) / 2,

где d1 и d2 - длины диагоналей.

Сначала, так как у нас есть сумма диагоналей, обозначим:

• d1 + d2 = 42

Также мы знаем, что в ромбе диагонали пересекаются под прямым углом и делят друг друга пополам. Обозначим:

• d1 = x
• d2 = 42 - x

Теперь, используя свойства ромба, мы можем выразить длину стороны через диагонали:

Сторона = √((d1/2)² + (d2/2)²)

Подставим наши обозначения:

15 = √((x/2)² + ((42 - x)/2)²)

Теперь возведем в квадрат обе части уравнения:

15² = (x/2)² + ((42 - x)/2)²

225 = (x²/4) + ((42 - x)²/4)

Умножим на 4, чтобы избавиться от дробей:

900 = x² + (42 - x)²

Раскроем скобки:

900 = x² + (1764 - 84x + x²)

900 = 2x² - 84x + 1764

Переносим все в одну сторону:

2x² - 84x + 864 = 0

Теперь можно решить это квадратное уравнение. Разделим на 2:

x² - 42x + 432 = 0

Используя дискриминант:

D = b² - 4ac = (-42)² - 4 * 1 * 432

D = 1764 - 1728 = 36

Теперь находим корни:

x = (42 ± √36) / 2

x = (42 ± 6) / 2

Получаем два значения:

• x1 = 24
• x2 = 18

Таким образом, диагонали:

• d1 = 24
• d2 = 18

Теперь можем найти площадь:

Площадь = (24 * 18) / 2 = 216

Итак, площадь ромба составляет 216 квадратных единиц.

2. Определение площади ромба с известным периметром и соотношением диагоналей:

Если длины диагоналей ромба соотносятся как корень из 3 к 1, то можно обозначить:

• d1 = k√3
• d2 = k

Где k - это некоторый коэффициент. Теперь найдем площадь ромба через диагонали:

Площадь = (d1 * d2) / 2 = (k√3 * k) / 2 = (k²√3) / 2

Теперь найдем длину стороны ромба. Периметр ромба равен 4 * сторона, и мы знаем, что периметр равен 40:

4 * сторона = 40

Сторона = 10

Теперь используем формулу для стороны ромба через диагонали:

Сторона = √((d1/2)² + (d2/2)²)

10 = √((k√3/2)² + (k/2)²)

Возводим в квадрат:

100 = (3k²/4) + (k²/4)

100 = (4k²/4) = k²

Таким образом, k² = 100, значит k = 10.

Теперь находим диагонали:

• d1 = 10√3
• d2 = 10

Теперь подставим в формулу для площади:

Площадь = (10√3 * 10) / 2 = 50√3

Таким образом, площадь ромба составляет 50√3 квадратных единиц.