1) В параллелограмме ABCD высота, опущенная на сторону CD, делит её пополам и образует со стороной BC угол 30 градусов, AB = 12 см. Каков периметр параллелограмма?

2) В параллелограмме ABCD биссектрисы углов A и C пересекают стороны BC и AD в точках M и K соответственно, так что AK = 4 см, BM = 6 см. Каков периметр ABCD?

3) На сторонах BC и CD параллелограмма ABCD взяты точки K и M соответственно. Отрезки BM и KD пересекаются в точке O; угол BOD = 140 градусов, угол DKB = 110 градусов, угол BMC = 90 градусов. Каковы углы параллелограмма?

Геометрия 8 класс Параллелограммы параллелограмм высота периметр угол биссектрисы стороны точки Углы геометрия 8 класс задачи по геометрии Новый

Давайте по порядку разберем каждую из задач.

1) Периметр параллелограмма ABCD.

Дано, что высота, опущенная на сторону CD, делит её пополам. Это значит, что отрезок, на который делится сторона CD, равен половине длины этой стороны. Обозначим длину стороны CD как x. Тогда высота делит CD на два равных отрезка, каждый из которых равен x/2.

Также известно, что угол между высотой и стороной BC равен 30 градусов. Мы можем использовать тригонометрию для нахождения длины стороны BC. В данном случае:

• Синус угла 30 градусов равен 1/2.
• Таким образом, высота h = AB * sin(30) = 12 * 1/2 = 6 см.

Теперь, используя теорему Пифагора в треугольнике, образованном высотой и половиной стороны CD, мы можем найти длину стороны CD:

• h^2 + (x/2)^2 = AB^2
• 6^2 + (x/2)^2 = 12^2
• 36 + (x/2)^2 = 144
• (x/2)^2 = 144 - 36 = 108
• x/2 = √108 = 6√3
• x = 12√3 см.

Теперь мы знаем, что стороны AB и CD равны, а стороны BC и AD также равны. Поскольку AB = 12 см, то BC = 12√3 см. Периметр P параллелограмма равен:

• P = 2 * (AB + BC) = 2 * (12 + 12√3) = 24 + 24√3 см.

Таким образом, периметр параллелограмма ABCD равен 24 + 24√3 см.

2) Периметр параллелограмма ABCD с биссектрисами.

Из условия задачи известно, что AK = 4 см и BM = 6 см. Поскольку биссектрисы углов A и C делят противоположные стороны в отношении длин прилежащих сторон, мы можем воспользоваться свойством биссектрисы:

• AK / KD = AB / AD
• BM / MC = BC / AD

Обозначим длины сторон AB и AD как a и b соответственно. Тогда:

• 4 / KD = a / b
• 6 / MC = b / a

Согласно свойству биссектрисы, мы можем выразить KD и MC через a и b:

• KD = 4b / a
• MC = 6a / b

Теперь, используя тот факт, что в параллелограмме ABCD противоположные стороны равны, мы можем найти периметр:

• P = 2 * (AB + AD) = 2 * (a + b).

Однако, нам не хватает информации о соотношении a и b, чтобы вычислить периметр. Если бы у нас были дополнительные данные о длинах сторон, мы могли бы найти конкретное значение.

3) Углы параллелограмма ABCD.

В этой задаче мы знаем углы BOD, DKB и BMC. Давайте рассмотрим их:

• Угол BOD = 140 градусов.
• Угол DKB = 110 градусов.
• Угол BMC = 90 градусов.

В параллелограмме ABCD противоположные углы равны, а сумма смежных углов равна 180 градусов. Таким образом, мы можем найти углы A и C:

• Угол BMC = 90 градусов, значит угол A = 90 градусов (поскольку A и C являются противоположными углами).
• Угол DKB = 110 градусов, значит угол D = 70 градусов (поскольку угол DKB является смежным углом с углом D).

Итак, мы можем записать углы параллелограмма ABCD:

• Угол A = 90 градусов.
• Угол B = 110 градусов.
• Угол C = 90 градусов.
• Угол D = 70 градусов.

Таким образом, углы параллелограмма ABCD равны 90, 110, 90 и 70 градусов соответственно.