Давайте докажем, что сумма диагоналей четырехугольника меньше его периметра. Для этого рассмотрим произвольный четырехугольник ABCD. Обозначим стороны четырехугольника как:

• a - сторона AB
• b - сторона BC
• c - сторона CD
• d - сторона DA

Сначала найдем периметр этого четырехугольника. Периметр P вычисляется как сумма всех его сторон:

P = a + b + c + d

Теперь обозначим диагонали четырехугольника. Пусть диагонали AC и BD обозначим как:

• x1 - диагональ AC
• x2 - диагональ BD

Теперь применим неравенство треугольников. Оно гласит, что сумма любых двух сторон треугольника больше третьей стороны. Мы можем выделить несколько треугольников в нашем четырехугольнике:

1. Треугольник ABC: по неравенству треугольников a + b > x2 (где x2 - диагональ BD)
2. Треугольник ABD: по неравенству треугольников a + d > x1 (где x1 - диагональ AC)
3. Треугольник BCD: по неравенству треугольников b + c > x1
4. Треугольник CDA: по неравенству треугольников c + d > x2

Теперь давайте сложим все эти неравенства:

• a + b > x2
• a + d > x1
• b + c > x1
• c + d > x2

При сложении всех этих неравенств получаем:

2a + 2b + 2c + 2d > x1 + x2

Теперь заметим, что с левой стороны у нас 2 * (a + b + c + d),что равно 2P. Таким образом, мы можем записать это неравенство как:

2P > x1 + x2

Теперь, разделив обе стороны на 2, получаем:

P > (x1 + x2) / 2

В заключение, мы можем утверждать, что сумма диагоналей x1 + x2 меньше периметра P четырехугольника:

x1 + x2 < P

Таким образом, мы доказали, что сумма диагоналей четырехугольника меньше его периметра.