Докажите, что сумма диагоналей четырехугольника меньше его периметра.

Геометрия 8 класс Свойства четырехугольников геометрия 8 класс сумма диагоналей четырёхугольник периметр доказательство свойства четырёхугольников геометрические доказательства математические задачи учебный материал по геометрии Новый

Давайте докажем, что сумма диагоналей четырехугольника меньше его периметра. Для этого рассмотрим произвольный четырехугольник ABCD. Обозначим стороны четырехугольника как:

• a - сторона AB
• b - сторона BC
• c - сторона CD
• d - сторона DA

Сначала найдем периметр этого четырехугольника. Периметр P вычисляется как сумма всех его сторон:

P = a + b + c + d

Теперь обозначим диагонали четырехугольника. Пусть диагонали AC и BD обозначим как:

• x1 - диагональ AC
• x2 - диагональ BD

Теперь применим неравенство треугольников. Оно гласит, что сумма любых двух сторон треугольника больше третьей стороны. Мы можем выделить несколько треугольников в нашем четырехугольнике:

1. Треугольник ABC: по неравенству треугольников a + b > x2 (где x2 - диагональ BD)
2. Треугольник ABD: по неравенству треугольников a + d > x1 (где x1 - диагональ AC)
3. Треугольник BCD: по неравенству треугольников b + c > x1
4. Треугольник CDA: по неравенству треугольников c + d > x2

Теперь давайте сложим все эти неравенства:

• a + b > x2
• a + d > x1
• b + c > x1
• c + d > x2

При сложении всех этих неравенств получаем:

2a + 2b + 2c + 2d > x1 + x2

Теперь заметим, что с левой стороны у нас 2 * (a + b + c + d), что равно 2P. Таким образом, мы можем записать это неравенство как:

2P > x1 + x2

Теперь, разделив обе стороны на 2, получаем:

P > (x1 + x2) / 2

В заключение, мы можем утверждать, что сумма диагоналей x1 + x2 меньше периметра P четырехугольника:

x1 + x2 < P

Таким образом, мы доказали, что сумма диагоналей четырехугольника меньше его периметра.