Докажите, что точки А и С треугольника ABC находятся на одинаковом расстоянии от прямой, проходящей через медиану BM.

Геометрия 8 класс Медианы треугольника доказательство треугольник ABC точки A и C медиана BM расстояние от точки до прямой Новый

Чтобы доказать, что точки A и C находятся на одинаковом расстоянии от прямой, проходящей через медиану BM треугольника ABC, мы воспользуемся свойствами медиан и расстояния от точки до прямой.

Шаг 1: Определение медианы

• Медиана BM треугольника ABC соединяет вершину B с серединой отрезка AC, обозначим эту середину как M.

Шаг 2: Расстояние от точки до прямой

• Расстояние от точки до прямой можно найти с помощью перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую.
• Обозначим расстояние от точки A до прямой BM как d(A, BM), а расстояние от точки C до прямой BM как d(C, BM).

Шаг 3: Анализ перпендикуляров

• Поскольку M - середина отрезка AC, проведем перпендикуляры из точек A и C на прямую BM.
• Обозначим точки пересечения перпендикуляров с прямой BM как P и Q соответственно.

Шаг 4: Связь между треугольниками

• Треугольники ABM и CBM являются равнобедренными, так как BM - медиана, и AM = CM (по определению медианы).
• Так как BM - медиана, то отрезки AP и CQ равны по длине, и угол ABM равен углу CBM.

Шаг 5: Заключение

• Из равенства треугольников ABM и CBM следует, что расстояния от точки A до прямой BM и от точки C до прямой BM равны, то есть d(A, BM) = d(C, BM).
• Таким образом, точки A и C находятся на одинаковом расстоянии от прямой, проходящей через медиану BM.

Мы доказали, что точки A и C находятся на одинаковом расстоянии от прямой BM, что и требовалось доказать.