Из точки, находящейся на данной окружности, проведены две хорды, длина которых равна радиусу. Какой угол образуется между этими хордами?

Геометрия 8 класс Углы и хорды окружности угол между хордами окружность радиус геометрия 8 класс свойства хорды Новый

Для решения этой задачи давайте сначала разберем, что нам дано. У нас есть окружность и точка на этой окружности, из которой проведены две хорды. Длина каждой из этих хорд равна радиусу окружности.

Обозначим радиус окружности как R. Поскольку длина каждой хорды равна радиусу, то каждая из хорд имеет длину R.

Теперь мы можем использовать некоторые свойства окружности и треугольников, чтобы найти угол между этими хордами.

1. Проведем радиусы, соединяющие центр окружности с концами хорд. Обозначим центр окружности как O, а концы хорд как A и B для первой хорды и C и D для второй хорды.
2. Таким образом, у нас получится два треугольника: OAB и OCD, где OA = OB = R, OC = OD = R и AB = CD = R.
3. Теперь мы можем рассмотреть треугольник OAB. Это равнобедренный треугольник, так как OA = OB. По свойству равнобедренного треугольника углы при основании равны. Обозначим угол AOB как α.
4. С помощью теоремы косинусов можем выразить угол α: AB² = OA² + OB² - 2 * OA * OB * cos(α). Подставим известные значения: R² = R² + R² - 2 * R * R * cos(α).
5. Упрощая уравнение, получаем: R² = 2R²(1 - cos(α)). Делим обе стороны на R² (R не равно 0): 1 = 2(1 - cos(α)).
6. Решим это уравнение: 1 = 2 - 2cos(α) => 2cos(α) = 1 => cos(α) = 1/2.
7. Теперь мы знаем, что угол AOB равен 60 градусов (или π/3 радиан).
8. Так как угол между хордами A и B и C и D будет равен 180 градусов минус угол AOB, то угол между двумя хордами будет равен 180 - 60 = 120 градусов.

Ответ: Угол между двумя хордами, проведенными из точки на окружности, равен 120 градусов.