Как можно найти диаметр окружности, описанной вокруг равнобедренного треугольника, если боковая сторона составляет 5, а угол при вершине, противолежащий основанию, равен 120 градусам?

Геометрия 8 класс Окружность, описанная вокруг треугольника диаметр окружности равнобедренный треугольник боковая сторона 5 угол 120 градусов геометрия 8 класс Новый

Чтобы найти диаметр окружности, описанной вокруг равнобедренного треугольника, необходимо воспользоваться формулой для нахождения радиуса окружности, описанной вокруг треугольника:

R = (abc) / (4S)

где R - радиус описанной окружности, a, b, c - длины сторон треугольника, S - площадь треугольника.

В нашем случае у нас есть равнобедренный треугольник с боковыми сторонами a = b = 5 и углом C = 120°. Мы можем обозначить основание треугольника как c.

Шаги решения:

1. Найдем длину основания c:

Для этого воспользуемся теоремой косинусов:

c² = a² + b² - 2ab * cos(C)

Подставим известные значения:

c² = 5² + 5² - 2 * 5 * 5 * cos(120°)

Зная, что cos(120°) = -1/2, подставим это значение:

c² = 25 + 25 + 25 = 75

Таким образом, c = √75 = 5√3.

2. Теперь найдем площадь S треугольника:

Для нахождения площади равнобедренного треугольника можно использовать формулу:

S = (1/2) * c * h

Где h - высота треугольника. Мы можем найти высоту, используя синус угла:

h = a * sin(C)

Подставим значения:

h = 5 * sin(120°)

Зная, что sin(120°) = √3/2, получаем:

h = 5 * (√3/2) = (5√3)/2.

Теперь подставим h в формулу для площади:

S = (1/2) * (5√3) * (5√3)/2 = (25 * 3)/4 = 75/4.

3. Теперь найдем радиус R:

Подставим значения a, b, c и S в формулу для радиуса:

R = (abc) / (4S) = (5 * 5 * 5√3) / (4 * (75/4))

Упрощаем:

R = (125√3) / 75 = (5√3) / 3.

4. Наконец, найдем диаметр D:

Диаметр D равен двум радиусам:

D = 2R = 2 * (5√3) / 3 = (10√3) / 3.

Таким образом, диаметр окружности, описанной вокруг равнобедренного треугольника, составляет (10√3) / 3.