Чтобы найти площадь ромба ABCD, где сторона равна 4√2, а угол B составляет 60 градусов, можно воспользоваться формулой для площади ромба через сторону и угол. Площадь ромба можно вычислить по формуле:

Площадь = a² * sin(B)

Где a - длина стороны, а B - угол между двумя сторонами. Однако, поскольку вам нужно решить задачу без использования синуса, мы можем использовать другой подход.

Ромб можно разбить на два равных треугольника, проведя диагональ AC. В нашем случае, мы можем использовать свойства равнобедренного треугольника.

1. Найдём длину диагонали BD:
• Поскольку угол B равен 60 градусам, то угол D также будет равен 60 градусам (поскольку противоположные углы равны в ромбе).
• Таким образом, треугольник ABD является равнобедренным с углом A равным 60 градусам.
• Сторона AB равна 4√2, и мы можем найти высоту AH, опущенную из вершины A на сторону BD.
2. Используем свойства равнобедренного треугольника:
• В равнобедренном треугольнике высота делит основание пополам. Таким образом, если BD = x, то BH = x/2.
• По свойству треугольника, высота AH может быть найдена через сторону AB и угол B:
• AH = AB * sin(60°) = 4√2 * (√3/2) = 2√6.
3. Теперь найдем площадь треугольника ABD:
• Площадь треугольника ABD = (1/2) * основание * высоту = (1/2) * BD * AH = (1/2) * x * 2√6.
• Но мы знаем, что BD = 4√2 * sin(60°) = 4√2 * (√3/2) = 2√6.

Теперь мы можем найти площадь ромба:

Площадь ромба ABCD = 2 * Площадь треугольника ABD = 2 * (1/2) * BD * AH = BD * AH = (2√6) * (2√6) = 24.

Таким образом, площадь ромба ABCD равна 24 квадратных единиц.