Чтобы определить длину окружности, описанной вокруг правильного треугольника, сначала нужно разобраться с соотношением между радиусами описанной и вписанной окружностей в правильный треугольник.

Часть 1: Длина описанной окружности вокруг правильного треугольника

1. Начнем с того, что для правильного треугольника радиус описанной окружности (R) и радиус вписанной окружности (r) связаны соотношением: R = 2r/√3.
2. Из условия задачи известно, что длина вписанной окружности равна 2√3π см. Поскольку длина окружности (C) выражается через радиус как C = 2πr, то для вписанной окружности имеем: 2πr = 2√3π.
3. Отсюда можем найти радиус вписанной окружности: r = √3 см.
4. Теперь используем соотношение R = 2r/√3, чтобы найти радиус описанной окружности: R = 2(√3)/√3 = 2 см.
5. Длина описанной окружности вычисляется по формуле C = 2πR. Подставив значение радиуса, получаем: C = 2π(2) = 4π см.

Таким образом, длина окружности, описанной вокруг правильного треугольника, равна 4π см.

Часть 2: Длина дуги окружности радиусом 9 см при градусной мере 20 градусов

1. Для вычисления длины дуги окружности используем формулу: длина дуги = (θ/360) × 2πR, где θ — градусная мера дуги, а R — радиус окружности.
2. Подставим значения: θ = 20 градусов и R = 9 см.
3. Вычисляем длину дуги: длина дуги = (20/360) × 2π(9).
4. Упростим выражение: (20/360) = 1/18.
5. Подставим в формулу: длина дуги = (1/18) × 2π(9) = (1/18) × 18π = π см.

Таким образом, длина дуги окружности радиусом 9 см при градусной мере 20 градусов составляет π см.