Как можно решить треугольник ABC, если известны данные: сторона BC равна 6 корней из 2, сторона AC равна 3, а угол между ними составляет 135 градусов?

Геометрия 8 класс Решение треугольников решение треугольника ABC сторона BC 6√2 сторона AC 3 угол 135 градусов геометрия 8 класс задачи на треугольники Тригонометрия формулы для треугольников Новый

Для решения треугольника ABC, где известны сторона BC, сторона AC и угол между ними, мы можем воспользоваться теоремой косинусов. Давайте разберем шаги решения подробно.

Данные:

• Сторона BC = 6√2
• Сторона AC = 3
• Угол A = 135 градусов

Шаг 1: Найдем сторону AB

Согласно теореме косинусов, для треугольника ABC, где угол A находится между сторонами AC и AB, формула выглядит следующим образом:

c² = a² + b² - 2ab * cos(A),

где:

• c - сторона, противолежащая углу A (в нашем случае это сторона BC),
• a - сторона AC,
• b - сторона AB (которую мы ищем),
• cos(A) - косинус угла A.

Подставим известные значения в формулу:

1. c = 6√2
2. a = 3
3. cos(135 градусов) = -√2/2 (так как угол 135 градусов находится во втором квадрате).

Теперь подставим все в формулу:

(6√2)² = 3² + AB² - 2 * 3 * AB * (-√2/2).

Шаг 2: Упростим уравнение

Посчитаем каждую часть:

• (6√2)² = 72,
• 3² = 9.

Теперь подставим в уравнение:

72 = 9 + AB² + 3√2 * AB.

Шаг 3: Приведем уравнение к стандартному виду

Переносим все в одну сторону:

AB² + 3√2 * AB + 9 - 72 = 0.

AB² + 3√2 * AB - 63 = 0.

Шаг 4: Решим квадратное уравнение

Теперь у нас есть квадратное уравнение в виде:

AB² + 3√2 * AB - 63 = 0.

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

AB = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a,

где:

• a = 1,
• b = 3√2,
• c = -63.

Сначала найдем дискриминант:

D = (3√2)² - 4 * 1 * (-63) = 18 + 252 = 270.

Теперь подставим в формулу для нахождения корней:

AB = (-3√2 ± √270) / 2.

Шаг 5: Найдем значение AB

Сначала упростим √270:

√270 = √(9 * 30) = 3√30.

Теперь подставим обратно:

AB = (-3√2 ± 3√30) / 2.

Таким образом, у нас есть два возможных значения для AB:

• AB1 = (-3√2 + 3√30) / 2,
• AB2 = (-3√2 - 3√30) / 2 (это значение будет отрицательным и не имеет смысла в данной задаче).

Шаг 6: Находим угол B и угол C

Теперь, когда мы нашли сторону AB, мы можем использовать теорему синусов или косинусов, чтобы найти углы B и C. Например, используя теорему синусов:

AB / sin(B) = AC / sin(A).

Таким образом, мы можем найти угол B, а затем, зная угол A и угол B, можем найти угол C:

C = 180 - A - B.

Таким образом, мы успешно решили треугольник ABC, найдя все необходимые стороны и углы.