Чтобы вычислить площадь боковой поверхности прямой призмы ABCDA1B1C1D1, нам нужно сначала понять, что боковая поверхность призмы состоит из четырех прямоугольников, которые соединяют стороны основания призмы с верхним основанием.

Давайте разберем шаги решения:

1. Вычисление высоты призмы:
   • Мы знаем, что диагональ B1D образует угол 30 градусов с плоскостью основания. Это значит, что высота призмы (h) можно найти, если мы знаем длину диагонали B1D.
   • Сначала найдем длину диагонали основания ABCD. Параллелограмм имеет диагонали, которые можно вычислить по формуле:
   • Длина диагонали BD можно найти с помощью теоремы косинусов:
2. Вычисление длины диагонали:
   • Стороны параллелограмма: AB = 4 см, AD = 8 см, угол BAD = 60 градусов.
   • По теореме косинусов:
   • BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 * AB * AD * cos(60°)
   • Подставляем значения: BD^2 = 4^2 + 8^2 - 2 * 4 * 8 * 0.5 = 16 + 64 - 32 = 48.
   • Таким образом, BD = √48 = 4√3 см.
3. Вычисление высоты призмы:
   • Используя угол 30 градусов, мы можем найти высоту призмы:
   • h = BD * sin(30°) = 4√3 * 0.5 = 2√3 см.
4. Вычисление площади боковой поверхности:
   • Площадь боковой поверхности призмы равна сумме площадей всех четырех прямоугольников.
   • Площадь одного прямоугольника, который соединяет стороны длиной 4 см и высоту h, равна 4 * h.
   • Площадь другого прямоугольника, который соединяет стороны длиной 8 см и высоту h, равна 8 * h.
   • Таким образом, общая площадь боковой поверхности:
   • Площадь боковой поверхности = 2 * (4 * h + 8 * h) = 2 * (4 + 8) * h = 2 * 12 * h = 24h.
   • Теперь подставляем h = 2√3 см:
   • Площадь боковой поверхности = 24 * 2√3 = 48√3 см².

Таким образом, площадь боковой поверхности прямой призмы ABCDA1B1C1D1 составляет 48√3 см².