Как можно вычислить площадь (S) и периметр (P) равнобедренного треугольника, если боковая сторона составляет 17 см, а биссектриса, проведённая к основанию, равна 15 см?

Геометрия 8 класс Площадь и периметр треугольника площадь равнобедренного треугольника периметр равнобедренного треугольника боковая сторона 17 см биссектриса 15 см формулы для треугольника Новый

Чтобы вычислить площадь (S) и периметр (P) равнобедренного треугольника, нам нужно использовать данные о боковой стороне и биссектрисе. В данном случае у нас есть равнобедренный треугольник с боковой стороной 17 см и биссектрисой, проведённой к основанию, равной 15 см.

Шаг 1: Найдем основание треугольника.

Обозначим:

• AB и AC - боковые стороны равнобедренного треугольника, равные 17 см;
• BC - основание, которое мы хотим найти;
• AD - биссектрису, проведённую к основанию BC, равную 15 см;
• BD и DC - половины основания, которые равны между собой, так как треугольник равнобедренный.

Поскольку AD является биссектрисой, то BD = DC. Обозначим BD = DC = x. Тогда:

• BC = BD + DC = x + x = 2x.

Теперь мы можем использовать теорему о биссектрисе для нахождения x. В равнобедренном треугольнике справедливо следующее соотношение:

Шаг 2: Применим теорему о биссектрисе.

По теореме о биссектрисе:

• (AB / AC) = (BD / DC) = (x / x) = 1.

Теперь мы можем воспользоваться теоремой Пифагора в треугольнике ABD:

AB^2 = AD^2 + BD^2.

Подставим известные значения:

• (17)^2 = (15)^2 + x^2.
• 289 = 225 + x^2.

Теперь решим уравнение для x:

• x^2 = 289 - 225 = 64;
• x = √64 = 8 см.

Таким образом, основание BC = 2x = 2 * 8 = 16 см.

Шаг 3: Теперь найдем периметр треугольника.

Периметр (P) равнобедренного треугольника вычисляется по формуле:

• P = AB + AC + BC = 17 + 17 + 16 = 50 см.

Шаг 4: Теперь найдем площадь треугольника.

Площадь (S) равнобедренного треугольника можно найти по формуле:

• S = (основание * высота) / 2.

В нашем случае высота равна биссектрисе (AD), а основание BC = 16 см:

• S = (16 * 15) / 2 = 240 / 2 = 120 см².

Итак, ответ:

• Периметр (P) равнобедренного треугольника составляет 50 см;
• Площадь (S) равнобедренного треугольника составляет 120 см².