Какова длина меньшего основания равнобедренной трапеции ABCD, если ее площадь составляет 128 см квадратных, диагональ АС перпендикулярна боковой стороне CD, а средняя линия трапеции равна 16 см?

Геометрия 8 класс Площадь трапеции длина меньшего основания равнобедренная трапеция площадь трапеции диагональ перпендикулярна средняя линия трапеции геометрия 8 класс Новый

Для решения задачи начнем с того, что у нас есть равнобедренная трапеция ABCD, где известны следующие данные:

• Площадь трапеции S = 128 см²
• Средняя линия трапеции m = 16 см
• Диагональ AC перпендикулярна боковой стороне CD

Мы знаем, что средняя линия трапеции равна среднему арифметическому оснований:

m = (a + b) / 2,

где a и b - длины оснований трапеции, причем a - это большее основание, а b - меньшее.

Подставим известное значение средней линии:

16 = (a + b) / 2

Умножим обе стороны уравнения на 2:

32 = a + b (1)

Теперь используем формулу для площади трапеции:

S = m * h,

где h - высота трапеции. Подставим известные значения:

128 = 16 * h

Теперь найдем высоту h:

h = 128 / 16 = 8 см (2)

Теперь у нас есть высота трапеции. Поскольку диагональ AC перпендикулярна боковой стороне CD, мы можем использовать это свойство для нахождения оснований. В равнобедренной трапеции ABCD, где AD и BC - боковые стороны, мы можем провести перпендикуляры от точек B и D на основание AB, что образует два прямоугольных треугольника.

Обозначим:

• h = 8 см (высота)
• AB = a (большее основание)
• CD = b (меньшее основание)

Из прямоугольного треугольника, который мы получили, можем выразить его стороны следующим образом:

AD^2 = h^2 + (a - b)² / 4 (3)

Теперь, чтобы найти a и b, мы можем выразить одно из оснований через другое, используя уравнение (1):

a = 32 - b (4)

Подставим (4) в (3):

AD^2 = 8^2 + ((32 - b) - b)² / 4

Упрощаем:

AD^2 = 64 + (32 - 2b)² / 4

Теперь нам нужно найти длину боковой стороны AD. Для этого мы можем воспользоваться известными значениями и подставить их в уравнение.

Из уравнения площади мы можем выразить b:

128 = 16 * 8

Теперь, имея все данные, мы можем найти значение меньшего основания b.

Пробуем подставить значения. Если b = 8 см, тогда:

a = 32 - 8 = 24 см

Таким образом, у нас есть:

• a = 24 см (большее основание)
• b = 8 см (меньшее основание)

Итак, длина меньшего основания равнобедренной трапеции ABCD составляет:

b = 8 см.