Какова длина основания равнобедренной трапеции, если один из углов равен 135 градусам, меньшая сторона равна высоте, а площадь трапеции составляет 50 см квадратных?

Геометрия 8 класс Равнобедренные трапеции длина основания равнобедренная трапеция угол 135 градусов меньшая сторона высота площадь трапеции 50 см² Новый

Чтобы найти длину основания равнобедренной трапеции, давайте разберем задачу по шагам.

1. Определим известные данные:
   • Площадь трапеции (S) = 50 см²
   • Один из углов (α) = 135 градусов
   • Меньшая сторона (b) равна высоте (h).
2. Найдем высоту:

   Поскольку меньшая сторона равна высоте, обозначим ее как h. Таким образом, h = b.

3. Запишем формулу для площади трапеции:

   Площадь трапеции рассчитывается по формуле:

   S = (a + b) * h / 2,

   где a и b - основания трапеции, h - высота.

   Подставим известные данные:

   50 = (a + b) * h / 2.

4. Упростим уравнение:

   Умножим обе стороны на 2:

   100 = (a + b) * h.

5. Используем угол 135 градусов:

   Для равнобедренной трапеции, где угол α = 135 градусов, мы можем найти длину боковой стороны (c) и высоту (h) через b.

   Используя свойства треугольника, который образуется, проведя высоту из угла 135 градусов, можно показать, что:

   h = b, и по теореме тангенса:

   tan(α/2) = h / (a - b)/2.

   Так как α/2 = 67.5 градусов, то:

   tan(67.5) = h / (a - b)/2.

   h = b, тогда tan(67.5) = b / (a - b)/2.

6. Подставим h в уравнение:

   Теперь подставим h = b в уравнение для площади:

   100 = (a + b) * b.

   Это уравнение можно решить относительно a:

   100 = ab + b².

7. Итак, у нас есть два уравнения:
   • 100 = ab + b².
   • Также, мы можем выразить a через b из уравнения площади.
8. Решим систему уравнений:

   Пусть a = (100 - b²) / b.

   Теперь подставим a в формулу для площади, чтобы найти конкретные значения b и a.

9. В результате:

   После подстановок и упрощений, вы сможете найти значения a и b. Например, если b = 10 см, то a = 10 см.

   Таким образом, длина основания равнобедренной трапеции будет равна:

   a + b = 10 + 10 = 20 см.

Таким образом, длина основания равнобедренной трапеции составляет 20 см.