Каково отношение радиусов окружностей, описанных около треугольников ABN и ABC, если точка N находится на стороне AC правильного треугольника ABC и AN/AC = n?

Геометрия 8 класс Окружности, описанные около треугольников отношение радиусов окружностей радиусы окружностей треугольников точка N на стороне AC правильный треугольник ABC AN к AC равное n Новый

Для решения этой задачи нам нужно рассмотреть два треугольника: треугольник ABC и треугольник ABN, где точка N находится на стороне AC. Давайте разберем, как соотносятся радиусы описанных окружностей этих треугольников.

Шаг 1: Определение радиуса описанной окружности

Радиус описанной окружности R треугольника можно найти по формуле:

R = (abc) / (4S),

где a, b, c - длины сторон треугольника, а S - площадь треугольника.

Шаг 2: Площадь треугольника ABC

Поскольку ABC - правильный треугольник, его стороны равны. Обозначим длину стороны ABC как a. Площадь S треугольника ABC можно найти по формуле:

S = (√3 / 4) * a².

Шаг 3: Площадь треугольника ABN

Теперь рассмотрим треугольник ABN. Поскольку точка N делит сторону AC в отношении AN/AC = n, мы можем выразить длину стороны AN как:

AN = n * AC.

Так как AC = a (в правильном треугольнике), то AN = n * a.

Сторона BN также будет равна a, а сторона AB равна a. Таким образом, стороны треугольника ABN равны: AB = a, BN = a, AN = n * a.

Теперь найдем площадь треугольника ABN. Площадь S треугольника ABN можно выразить через основание AN и высоту, проведенную из точки B к стороне AN. Высота будет равна (√3 / 2) * AN, так как это высота правильного треугольника.

Тогда площадь S ABN будет равна:

S = (1/2) * AN * высота = (1/2) * (n * a) * ((√3 / 2) * (n * a)) = (√3 / 4) * n² * a².

Шаг 4: Радиус описанной окружности треугольника ABN

Теперь можем найти радиус описанной окружности R ABN:

R ABN = (AB * AN * BN) / (4 * S ABN) = (a * (n * a) * a) / (4 * ((√3 / 4) * n² * a²)) = (n * a³) / (√3 * n² * a²) = (a) / (√3 * n).

Шаг 5: Отношение радиусов окружностей

Теперь мы можем найти отношение радиусов окружностей:

• R ABC = (a) / (√3),
• R ABN = (a) / (√3 * n).

Отношение радиусов R ABN к R ABC будет равно:

R ABN / R ABC = [(a) / (√3 * n)] / [(a) / (√3)] = 1/n.

Ответ: Отношение радиусов окружностей, описанных около треугольников ABN и ABC, равно 1/n.