Каковы признаки подобия треугольников и как они используются в следующей задаче: в треугольнике ABC через точку E, которая делит сторону AC в отношении 9:5, проведены прямые, параллельные AB и BC. Прямая, параллельная AB, пересекает BC в точке P, а параллельная BC пересекает AB в точке K. Известно, что AB=42. Как найти длину отрезка AK, длину отрезка PE и отношение BP : PC, выразив ответ в виде конечной десятичной дроби?

Геометрия 8 класс Признаки подобия треугольников признаки подобия треугольников треугольник ABC точка E отношение 9:5 параллельные прямые длина отрезка AK длина отрезка PE отношение BP к PC конечная десятичная дробь задача по геометрии Новый

Чтобы решить эту задачу, сначала рассмотрим признаки подобия треугольников. Основные признаки подобия треугольников следующие:

• Признак по двум углам (AA): Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то треугольники подобны.
• Признак по стороне и двум прилежащим углам (SAA): Если одна сторона одного треугольника пропорциональна соответствующей стороне другого треугольника, и углы между этими сторонами равны, то треугольники подобны.
• Признак по трем сторонам (SSS): Если все три стороны одного треугольника пропорциональны соответствующим сторонам другого треугольника, то треугольники подобны.

Теперь, применим эти признаки к нашей задаче:

В треугольнике ABC через точку E, которая делит сторону AC в отношении 9:5, проведены прямые, параллельные AB и BC. Это значит, что:

• Треугольник AKE подобен треугольнику ABC (по признаку AA, так как углы A и E равны, а угол K равен углу B).
• Треугольник BPE подобен треугольнику BEC (по тому же признаку, так как углы B и P равны, а угол E равен углу C).

Теперь давайте найдем длину отрезка AK. Так как E делит AC в отношении 9:5, мы можем записать:

• AE / EC = 9 / 5.

Пусть длина отрезка AE равна 9x, тогда длина отрезка EC будет равна 5x. Таким образом, длина стороны AC будет равна:

• AC = AE + EC = 9x + 5x = 14x.

Так как треугольники AKE и ABC подобны, то:

• AK / AB = AE / AC.

Подставим известные значения:

• AK / 42 = 9x / 14x.

Сократим x:

• AK / 42 = 9 / 14.

Теперь выразим AK:

• AK = 42 * (9 / 14) = 42 * 0.642857 = 27.

Теперь найдем длину отрезка PE. Из подобия треугольников BPE и BEC, имеем:

• PE / BE = BP / BC.

Поскольку BP + PC = BC, и BP / PC = 9 / 5 (так как E делит AC в отношении 9:5), мы можем выразить BP и PC через одно значение:

• BP = 9k, PC = 5k.

Тогда:

• BC = BP + PC = 9k + 5k = 14k.

Теперь найдем отношение BP : PC:

• BP : PC = 9 : 5.

Таким образом, мы нашли все необходимые значения:

• Длина отрезка AK = 27.
• Длина отрезка PE = 27 * (5 / 9) = 15.
• Отношение BP : PC = 9 : 5 = 1.8.

Ответы:

• Длина отрезка AK = 27.
• Длина отрезка PE = 15.
• Отношение BP : PC = 1.8.